1 bài về tìm n trong toán tám

Question

tìm các số nguyên dương n sao cho 3^n + 4^n + 2018^n là số chính phương

Answer 1

n > 2 hoặc n < -3
A = n^4 + 2n³ + 2n² + n + 7 
= (n² + n)² + n² + n + 7 
mà n² + n + 7 = (n + 1/2)² + 27/4 
=> A > (n² + n)² 

Xét (n² + n + 1)² - A 
= n^4 + n² + 1 + 2n³ + 2n² + 2n - n^4 - 2n³ - 2n² - n - 7 
= n² + n - 6 
= (n - 2)(n + 3) > 0

=> (n² + n)² < A < (n² + n + 1)² 
=> A không phải số chính phương 

Để A là số chính phương 
-3 ≤ n ≤ 2 
=> n thuộc {-3;-2;-1;0;1;2;3} 
Thay các giá trị của n vào A 
với A = -3 => A = 49 
A = 2 => A = 49