Cho mặt cầu (S) bán kính R=√2 . Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp...

Question

Cho mặt cầu \(\left(S\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) . Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h sao cho diện tích xung quanh hình trụ lớn nhất.

\(A. h=2. \)

\(B. h=\sqrt{2} . \)

\(C. h=\frac{\sqrt{2} }{2} . \)

\(D. h=1.\)

Answer 1

Chọn A

Ta có \(OO'=h;IA=R;AO=r\Rightarrow r=\sqrt{R^{2} -\frac{h^{2} }{4} } .\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là
\(S_{xq} =2\pi rh=2\pi h\sqrt{R^{2} -\frac{h^{2} }{4} } =\pi h\sqrt{4R^{2} -h^{2} } \le \pi \frac{h^{2} +4R^{2} -h^{2} }{2} =2\pi R^{2}  \)
Vậy \(S_{xq}\)  đạt GTLN là \(2\pi R^{2}\)  khi \(h=\sqrt{4R^{2} -h^{2} } \Leftrightarrow h=R\sqrt{2} =2.\)