Cho mặt cầu (S) tâm I có bán kính bằng 4, hình trụ (H) có hai đường tròn đáy (O;r) và (O';r) nằm trên...

Question

Cho mặt cầu \(\left(S\right)\) tâm I có bán kính bằng 4, hình trụ \(\left(H\right)\) có hai đường tròn đáy \(\left(O;r\right)\) và \(\left(O';r\right)\) nằm trên \(\left(S\right)\). Gọi A là một điểm thuộc \(\left(O;r\right)\). Mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) chứa IA và vuông góc mặt phẳng \(\left(AOO'\right)\) lần lượt cắt mặt cầu và hình trụ theo thiết diện có diện tích \(S_{1}\)  và \(S_{2}\) , biết \(S_{1} =2S_{2}\) . Tính chiều cao của hình trụ \(\left(H\right).\)

\(A. 2. \)

\(B.2\sqrt{3} .\)

\(C.\sqrt{2} +1. \)

\(D. 4\sqrt{3} .\)

Answer 1

Chọn D

Ta có \(S_{1}\)  là hình tròn có diện tích là \(\pi R^{2} \).

Vì mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) chứa IA và vuông góc mặt phẳng \(\left(AOO'\right)\)

nên ta có \(S_{2}\)  là elip \(\left(E\right)\) và có diện tích

bằng \(\frac{1}{2} S_{1} =\frac{1}{2} \pi R^{2} .\)

Hình chiếu của \(\left(E\right)\) lên đường tròn đáy có diện tích là \(\pi r^{2}\) ,

góc giữa mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) và mặt phẳng

chứa đáy \(\left(O;r\right)\) là góc \(\widehat{IAO}.\)

Theo công thức hình chiếu ta có

\(\frac{1}{2} \pi R^{2} .\cos \widehat{IAO}=\pi r^{2} \Leftrightarrow \pi R^{2} .\frac{r}{R} =2\pi r^{2} \Leftrightarrow R=2r\Rightarrow r=2.\)

Vậy hình trụ \(\left(H\right)\) có chiều cao là \(2\sqrt{4^{2} -2^{2} } =4\sqrt{3} .\)