bài tập toán

Question

Chứng minh:

a) x2−2xy+y2+1>0  với mọi số thực x và y;

b) x−x2−1<</span>0  với mọi số thực x.

Answer 1

a) x2−2xy+y2+1>0x2−2xy+y2+1>0  với mọi số thực xx và yy

Ta có:

x2−2xy+y2+1x2−2xy+y2+1

=(x2−2xy+y2)+1=(x2−2xy+y2)+1

=(x−y)2+1>0=(x−y)2+1>0 do (x−y)2≥0(x−y)2≥0 với mọi x,yx,y.

Vậy x2−2xy+y2+1>0x2−2xy+y2+1>0  với mọi số thực xx và yy.

b) x−x2−1<</span>0x−x2−1<</mo>0  với mọi số thực xx.

Ta có:x^2} - 1 \)

=−(x2−x+1)=−(x2−x+1)

=−[x2−2.x.12+(12)2+34]=−[x2−2.x.12+(12)2+34]

=−[x2−2x.12+(12)2]−34=−[x2−2x.12+(12)2]−34

=−(x−12)2−34<</span>0=−(x−12)2−34<</mo>0  với mọi xx, 

do (x−12)2≥0(x−12)2≥0 nên −(x−12)2≤0−(x−12)2≤0

Vậy x−x2−1<</span>0x−x2−1<</mo>0  với mọi số thực xx.