Tìm nguyên hàm của hàm số: ∫dxx+1√3[(x+1)2√3+1]

Question

\(\int \frac{{\rm d}x}{\sqrt[{3}]{x+1} \left[\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +1\right]}\)

Answer 1

Đặt \(t=\sqrt[{3}]{x+1} \Rightarrow x=t^{3} -1\Rightarrow {\rm d}x=3t^{2} {\rm d}t.\)

Khi đó ta có
\(\int \frac{3t^{2} {\rm d}x}{t(t^{2} +1)} =3\int \frac{t{\rm d}t}{t^{2} +1}\)

\(=\frac{3}{2} \int \frac{{\rm d}\left(t^{2} +1\right)}{t^{2} +1} =\frac{3}{2} \ln \left|t^{2} +1\right|+C=\frac{3}{2} \ln \left(t^{2} +1\right)+C.\)
Thay \(t=\sqrt[{3}]{x+1}\)  vào kết quả ta được \(\int \frac{dx}{\sqrt[{3}]{x+1} \left[\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +1\right]} =\frac{3}{2} \ln \left(\sqrt[{3}]{\left(x+1\right)^{2} } +1\right)+C.\)