Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫x3ex2dx

Question

\(\int x^{3} {\rm e}^{x^{2} } {\rm d}x\)

Answer 1

Đặt \(t=x^{2} \Rightarrow {\rm dt}=2x{\rm d}x.\)

Khi đó: \(\int x^{3} {\rm e}^{x^{2} } {\rm d}x =\frac{1}{2} \int t{\rm e}^{t}  {\rm d}t.\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l} {u=t} \\ {{\rm d}v={\rm e}^{t} {\rm d}t} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {{\rm d}u={\rm d}t} \\ {v={\rm e}^{t} } \end{array}\right. .       \)

Vậy:\( \int x^{3} {\rm e}^{x^{2} } {\rm d}x =\frac{1}{2} \int t{\rm e}^{t}  {\rm d}t=\frac{1}{2} t{\rm e}^{t} -\frac{1}{2} \int {\rm e}^{t} {\rm d}t =\frac{1}{2} t{\rm e}^{t} -\frac{1}{2} {\rm e}^{t} +C=\frac{1}{2} {\rm e}^{x^{2} } \left(x^{2} -1\right)+C.\)