Chứng minh tổng hoặc hiệu của một số tự nhiên và 1 PSTG là PSTG.( PSTG là phân số tối giản).

Question

Chứng minh rằng tổng hoặc hiệu của 1 số tự nhiên với 1 phân số tối giản là phân số tối giản

Answer 1

1) Trướt hết mình xin ký hiệu lại: 
a/b tối giản <=> (a;b)=1 tức là ước chung lớn nhất của a, b là 1 
2) Ta sẽ chứng minh: 
Nếu (a;b)=1 thì (b;a-b)=1 (*) 
Bằng phản chứng: giả sử rằng (b;a-b)=k (k>1) khi đó ta có thể viết 
b = k.u (u nguyên) (**) 
a-b = k.v (v nguyên) (***) 
Từ (**)(***) suy ra a = k(u+v) và do đó (a;b) = (k(u+v); ku) = k >1 là trái giả thiết. 
Vậy (*) đã được chứng minh. 
3) a/b tối giản => a/b -1 = (a-b)/b tối giản (theo (*)) 
bằng quy nạp sẽ chứng minh được a/b - n tối giản. (đpcm)