Tính tích phân sau: ∫(x^4+2x^2/3^x+1)dx

Question

Tính tích phân sau:

\(\int _{-1}^{1}\frac{x^{4} +2x^{2} }{3^{x} +1} {\rm d}x\)

Answer 1

\(I=\int _{-1}^{1}\frac{x^{4} +2x^{2} }{3^{x} +1} {\rm d}x \)

 Đặt \(t=-x\Rightarrow {\rm d}t=-{\rm d}x.\)

 Đổi cận: \(x=-1\Rightarrow t=1;\, x=1\Rightarrow t=-1\)

 Ta được \(\int _{-1}^{1}\frac{x^{4} +2x^{2} }{3^{x} +1} {\rm d}x =\int _{-1}^{1}\frac{t^{4} +2t^{2} }{3^{-t} +1} {\rm d}t= \int _{-1}^{1}\frac{3^{t} \left(t^{4} +2t^{2} \right)}{3^{t} +1} {\rm d}t \)

 Suy ra: \(2I=\int _{-1}^{1}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x \)

\(=\int _{-1}^{0}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x +\int _{0}^{1}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x =I_{1} +I_{2} .\)

 Xét \(I_{1} =\int _{-1}^{0}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x \)

 Đặt \(t=-x\Rightarrow {\rm d}t=-{\rm d}x.\)

 Đổi cận: \(x=-1\Rightarrow t=1;\, x=0\Rightarrow t=0\)

 Khi đó \(I_{1} =\int _{0}^{1}\left(t^{4} +2t^{2} \right){\rm d}t=I_{2} \)  

 Như vậy \(I=I_{1} =I_{2} =\int _{0}^{1}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x =\frac{1}{5} +\frac{2}{3} =\frac{13}{15} \).