\(I=\int _{-1}^{1}\frac{x^{4} +2x^{2} }{3^{x} +1} {\rm d}x \)
Đặt \(t=-x\Rightarrow {\rm d}t=-{\rm d}x.\)
Đổi cận: \(x=-1\Rightarrow t=1;\, x=1\Rightarrow t=-1\)
Ta được \(\int _{-1}^{1}\frac{x^{4} +2x^{2} }{3^{x} +1} {\rm d}x =\int _{-1}^{1}\frac{t^{4} +2t^{2} }{3^{-t} +1} {\rm d}t= \int _{-1}^{1}\frac{3^{t} \left(t^{4} +2t^{2} \right)}{3^{t} +1} {\rm d}t \)
Suy ra: \(2I=\int _{-1}^{1}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x \)
\(=\int _{-1}^{0}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x +\int _{0}^{1}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x =I_{1} +I_{2} .\)
Xét \(I_{1} =\int _{-1}^{0}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x \)
Đặt \(t=-x\Rightarrow {\rm d}t=-{\rm d}x.\)
Đổi cận: \(x=-1\Rightarrow t=1;\, x=0\Rightarrow t=0\)
Khi đó \(I_{1} =\int _{0}^{1}\left(t^{4} +2t^{2} \right){\rm d}t=I_{2} \)
Như vậy \(I=I_{1} =I_{2} =\int _{0}^{1}\left(x^{4} +2x^{2} \right){\rm d}x =\frac{1}{5} +\frac{2}{3} =\frac{13}{15} \).