Tính tích phân sau: ∫(x^4+2x^2+3^x/3^x+1)dx

Question

Tính tích phân sau:

\(\int _{-1}^{1}\frac{x^{4} +2x^{2} +3^{x} }{3^{x} +1} {\rm d}x \)

Answer 1

\(I=\int _{-1}^{1}\frac{x^{4} +2x^{2} +3^{x} }{3^{x} +1} {\rm d}x \)

\(=\int _{-1}^{1}\left(\frac{x^{4} +2x^{2} -1}{3^{x} +1} {\rm +1}\right){\rm d}x \)

\(=\int _{-1}^{1}\frac{x^{4} +2x^{2} -1}{3^{x} +1} {\rm d}x+2=I_{1} +2 \)

 Xét \(I_{1} =\int _{-1}^{1}\frac{x^{4} +2x^{2} -1}{3^{x} +1} {\rm d}x \)

 Do \(g\left(x\right)=x^{4} +2x^{2} -1 \) thỏa mãn \(g\left(-x\right)=g\left(x\right)\)

với mọi \(x\in \left[-1;1\right] \)

Áp dụng tích phân đặc biệt \(\int _{-a}^{a}\frac{g\left(x\right)}{b^{x} +1} {\rm d}x=\int _{0}^{a}g\left(x\right){\rm d}x\)

nếu \(g\left(x\right)\) là hàm thỏa mãn \(g\left(-x\right)=g\left(x\right)\)

với mọi \(x\in \left[-a;a\right],\, a>0\) ta được:
\(I_{1} =\int _{0}^{1}\left(x^{4} +2x^{2} -1\right){\rm d}x \)

\(=\frac{1}{5} +\frac{2}{3} -1=-\frac{2}{15} \Rightarrow I=\frac{28}{15} . \)