Cho hàm số y=f(x)={2sinπx+a,x≠2 -1 ,x=2 .Hàm số có đạo hàm tại x=2 khi và chỉ khi a bằng:

Question

Cho hàm số  \(y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc} {2\sin \pi x+a} & {,x\ne 2} \\ {-1} & {,x=2} \end{array}\right.\) .

Hàm số có đạo hàm tại x=2 khi và chỉ khi a bằng

A. 1.

B.-1.

C. 0.  

D. -2.

Answer 1

Chọn B

Ta có \(f\left(2\right)=-1\).
\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 2}} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2}} \left(2\sin \pi x+a\right)=a. \)
Để hàm số có đạo hàm tại x=2 thì hàm số phải

liên tục tại x=2 nên

\(f\left(2\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2}} f\left(x\right)\). Suy ra a=-1

Khi đó \(y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc} {2\sin \pi x-1} & {,x\ne 2} \\ {-1} & {,x=2} \end{array}\right.\) .

Ta có:

\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 2}} \frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2}} \frac{2\sin \pi x}{x-2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2}} \left(2\pi .\frac{\sin \left[\pi \left(x-2\right)+2\pi \right]}{\pi \left(x-2\right)} \right)\)

\(={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2}} \left(2\pi .\frac{\sin \left[\pi \left(x-2\right)\right]}{\pi \left(x-2\right)} \right)=2\pi .\)

Hàm số có đạo hàm tại x=2 thì a=-1.

Vậy với a =-1 thì hàm số có đạo hàm tại x=2 .