Ta chọn câu C.
Lấy z=1+2i; z'=2+i. Ta thấy \(\left|z\right|=\left|z'\right|\) nhưng \(z\ne \pm z'\).
Vậy đáp án C sai.
Gọi \(z=a+bi, z'=c+di \left(a,b,c,d\in {\rm R}\right)\). Ta có:
\(\left|z\right|.\left|z'\right|=\left|z.z'\right|\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} +b^{2} } .\sqrt{c^{2} +d^{2} } =\sqrt{\left(ac-bd\right)^{2} +\left(ad+bc\right)^{2} }\)
\( \Leftrightarrow \left(a^{2} +b^{2} \right)\left(c^{2} +d^{2} \right)=\left(ac-bd\right)^{2} +\left(ad+bc\right)^{2} \)
\(\Leftrightarrow a^{2} c^{2} +b^{2} d^{2} +b^{2} c^{2} +a^{2} d^{2} =a^{2} c^{2} +b^{2} d^{2} +b^{2} c^{2} +a^{2} d^{2}\)
( đẳng thức đúng). Vậy A đúng.
Trong A, thay z'=z ta được B đúng.
\(\left|z\right|+\left|z'\right|\ge \left|z+z'\right|\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} +b^{2} } +\sqrt{c^{2} +d^{2} } \ge \sqrt{\left(a+c\right)^{2} +\left(b+d\right)^{2} }\)
\( \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} +c^{2} +d^{2} +2\sqrt{\left(a^{2} +b^{2} \right)\left(c^{2} +d^{2} \right)} \ge \left(a+c\right)^{2} +\left(b+d\right)^{2} \)
\(\begin{equation} \label{GrindEQ__1_}
\Leftrightarrow \sqrt{\left(a^{2} +b^{2} \right)\left(c^{2} +d^{2} \right)} \ge ac+bd.
\end{equation} \) (1)
Nếu \(ac+bd\le 0: (1)\) đúng.
Nếu ac+bd>0:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow \left(a^{2} +b^{2} \right)\left(c^{2} +d^{2} \right)\ge \left(ac+bd\right)^{2}
\)
\(\Leftrightarrow a^{2} d^{2} +b^{2} c^{2} \ge 2acbd\Leftrightarrow \left(ad-bc\right)^{2} \ge 0\)
( bất đẳng thức đúng). Vậy D đúng.
