Question

Phương trình \(z^{2} -2z+b=0\) có hai nghiệm phức được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi hai điểm A, B. Biết tam giác OAB (O là gốc tọa độ) đều thì số thực b bằng?

A. \(\frac{4}{3} \) 

B. 2 

C. 3 

D. 4

Answer 1

Ta chọn câu A

Ta có \(\Delta '=1-b\). 

Nếu  \(b\le 1\Leftrightarrow \Delta '\ge 0\) phương trình có nghiệm thực

\(\Rightarrow O,A,B\) nằm trên trục hoành

\(\Rightarrow \) không tồn tại tam giác \(OAB \)

\(\Rightarrow\) loại \(b\le 1.\)

Nếu b>1 thì phương trình có hai nghiệm:

\(z_{1} =1+\sqrt{b-1} .i, z_{2} =1-\sqrt{b-1} .i.\)

Tọa độ điểm biểu diễn hai số phức là:

\(A\left(1;\sqrt{b-1} \right), B\left(1;-\sqrt{b-1} \right).\)

Ta có:

\(OA=\sqrt{1^{2} +\sqrt{b-1} ^{2} } =\sqrt{b} , OB=\sqrt{1^{2} +\left(-\sqrt{b-1} \right)^{2} } =\sqrt{b} , AB=2\sqrt{b-1} .\)

Tam giác OAB đều \(\Leftrightarrow OA=OB=AB\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{b} =\sqrt{b} =2\sqrt{b-1} \Leftrightarrow b=4\left(b-1\right)\Leftrightarrow b=\frac{4}{3}\) (thỏa mãn b>1) .

Vậy \(b=\frac{4}{3} .\)