Cho số phức z thỏa mãn |z-2i|<|z-4i| và |z-3-3i|=1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=|z-2| là

Question

Cho số phức z thỏa mãn \(\left|z-2i\right|\le \left|z-4i\right|\) và \(\left|z-3-3i\right|=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|z-2\right|\) là

\(A. \sqrt{13} +1.     \)   

\(B. \sqrt{10} +1. \)

\(C. \sqrt{13} . \)

\(D. \sqrt{10} .\)

Answer 1

Chọn C

Đặt \(w=z-2=x+iy\) với \(x,y\in {\rm R}.\)

Khi đó

\(\left|z-2i\right|\le \left|z-4i\right|\Leftrightarrow \left|x+2+iy-2i\right|\le \left|x+2+iy-4i\right|\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{\left(x+2\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} } \le \sqrt{\left(x+2\right)^{2} +\left(y-4\right)^{2} } \Leftrightarrow y\le 3\)

Với \(\left|z-3-3i\right|=1\Rightarrow \left|w-1-3i\right|=1 \)

Nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là

nửa đường tròn tâm \(I\left(1;3\right)\), bán kính R=1 nằm

trong miền giới hạn bởi đường thẳng \(y\le 3\) như hình vẽ. 

Vậy \(P_{\max } =OB=\sqrt{13}\)  với \(B\left(2;3\right).\)