Cho hai số phức z và w thỏa mãn z+2w=8+6i và |z-w|=4. Giá trị lớn nhất của biểu thức |z|+|w| bằng

Question

Cho  hai số phức z và w thỏa mãn \(z+2w=8+6i\) và \(\left|z-w\right|=4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left|z\right|+\left|w\right| \) bằng  

\(A. \sqrt{66} . \)

\(B. 3\sqrt{6} .\)

\(C. 2\sqrt{26} . \)

\(D. 4\sqrt{6} \).

Answer 1

Chọn A

Cách 1 : 

Gọi A, B là điểm biểu diễn z ,w
\(\widehat{AOB}=\varphi ; OA=a; OB=b \Rightarrow AB=4\)
Ta có: 
\(\widehat{OAC}=180^{0} -\varphi  \Rightarrow \cos \widehat{OAC}=-\cos \varphi  \)
C là điểm biểu diễn \(z+2w \Rightarrow OC=10\)

Ta có :
\(\left\{\begin{array}{l} {a^{2} +b^{2} -2ab\cos \varphi =16} \\ {a^{2} +4b^{2} +4ab\cos \varphi =100} \end{array}\right. \Rightarrow 3a^{2} +6b^{2} =132\)
Ta có \(\left(a+\frac{1}{\sqrt{2} } .\sqrt{2} b\right)^{2} \le \left(1+\frac{1}{2} \right)\left(a^{2} +2b^{2} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left(a+b\right)^{2} \le \frac{3}{2} .44=66 \Rightarrow a+b\le \sqrt{66} .\)

Dấu `'=`' xảy ra \(a=2b=\frac{2\sqrt{66} }{3} \)

Cách 2 :

Ta có \(\left|z+2w\right|=\left|8+6i\right|=10\)
\(\left|z+2w\right|^{2} +2\left|z-w\right|^{2} =3\left|z\right|^{2} +6\left|w\right|^{2} \)

\(\Leftrightarrow 10^{2} +2.4^{2} =3\left|z\right|^{2} +6\left|w\right|^{2} \Leftrightarrow \left|z\right|^{2} +2\left|w\right|^{2} =\frac{132}{3}  \)
Mà

\(\left|z\right|+\left|w\right|=\left|z\right|+\frac{1}{\sqrt{2} } .\sqrt{2} \left|w\right|\le \sqrt{\left(1+\left(\frac{1}{\sqrt{2} } \right)^{2} \right)\left(\left|z\right|^{2} +2\left|w\right|^{2} \right)} \)

\(=\sqrt{\frac{3}{2} .\frac{132}{3} } =\sqrt{66} .\)