Tìm nguyên hàm của hàm số sau:∫x2+3−−−−−√dx

Question

\(\int \sqrt{x^{2} +3} {\rm d}x\)

Answer 1

Đặt \(\left\{\begin{array}{l} {u=\sqrt{x^{2} +3} } \\ {{\rm d}v={\rm d}x} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {{\rm d}u=\frac{x{\rm d}x}{\sqrt{x^{2} +3} } } \\ {v=x} \end{array}\right.\)    và    \(I=\int \sqrt{x^{2} +3} {\rm d}x.\)

 Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có
\(\int \sqrt{x^{2} +3} {\rm d}x=x\sqrt{x^{2} +3} -\int \frac{x^{2} {\rm d}x}{\sqrt{x^{2} +3} } =x\sqrt{x^{2} +3} -\int \frac{x^{2} +3-3}{\sqrt{x^{2} +3} } {\rm d}x\)
\(=x\sqrt{x^{2} +3} -\int \sqrt{x^{2} +3} {\rm d}x+\int \frac{3}{\sqrt{x^{2} +3} } {\rm d}x =x\sqrt{x^{2} +3} -I+3\ln \left|x+\sqrt{x^{2} +3} \right|+C\)(Áp dụng ý 9)
\(\Rightarrow 2I=x\sqrt{x^{2} +3} -3\ln \left|x+\sqrt{x^{2} +3} \right|+C.\)
\(\Rightarrow I=\frac{x\sqrt{x^{2} +3} }{2} -\frac{3}{2} \ln \left|x+\sqrt{x^{2} +3} \right|+C.\)
Vậy \(\int \sqrt{x^{2} +3} {\rm d}x=\frac{x\sqrt{x^{2} +3} }{2} -\frac{3}{2} \ln \left|x+\sqrt{x^{2} +3} \right|+C.\)