​Cho S.ABCD có ABCD là hcn với AB=√6,AD=√3, SAC nhọn và nằm trong mp vuông góc với đáy. V S.ABCD bằng: ​

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB=\sqrt{6} , AD=\sqrt{3}\) , tam giác

SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng (SAB), (SAC) tạo

với nhau góc α thỏa mãn \(\tan \alpha =\frac{3}{4} \)và cạnh SC=3. Thể tích khối S.ABCD bằng:

\(A. \frac{4}{3}  B. \frac{8}{3} \)
\(C. 3\sqrt{3}  D. \frac{5\sqrt{3} }{3} .\)
 

Answer 1

\(V_{S.ABCD} =2.\frac{1}{3} .2\sqrt{2} .\sqrt{2} =\frac{8}{3}\)Chọn B

\(V_{S.ABCD} =2V_{S.ABC} =2V_{B.SAC} .\) Kẻ BH vuông góc với AC tại H

Ta có: \(AC=3,BH=\sqrt{2} , {\rm \; }HC=1.\)
\(\left[-100;100\right] \Rightarrow KH=\frac{4\sqrt{2} }{3} .\)
\(\sin \widehat{SAC}=\frac{KH}{HA} =\frac{2\sqrt{2} }{3} \Rightarrow \cos \widehat{SAC}=\frac{1}{3} .\)
\(SC^{2} =SA^{2} +AC^{2} -2AS.AC.\cos \widehat{SAC} \Rightarrow SA=2.\)
\(S_{SAC} =\frac{1}{2} SA.AC.\sin \widehat{SAC} =\frac{1}{2} .2.3.\frac{2\sqrt{2} }{3} =2\sqrt{2} .\)
Vậy V_{S.ABCD} =2.\frac{1}{3} .2\sqrt{2} .\sqrt{2} =\frac{8}{3}