S.ABC có đáy là tgv tại A với AB=a; AC=2a. (SBC) vg với (ABC). (SAB);(SAC) cùng tạo với (ABC) 60 độ. Tính tan a.

Question

 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB=a; AC=2a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (SAB);(SAC) cùng tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 60 độ . Gọi \(\alpha\)  là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). Tính \(\tan \alpha .\)

A. \frac{\sqrt{51} }{17} . B. \frac{\sqrt{51} }{3} . C. \frac{\sqrt{17} }{3} . D. \frac{3\sqrt{17} }{17} .
 

Answer 1

Chọn B

Vẽ \(SH\bot BC suy ra SH\bot (ABC);\) vẽ Ax là phân giác góc A.

Theo giả thiết thì H là giao điểm \(Ax\cap BC.\)

Kẻ \(\left. \begin{array}{l} {HI\bot SB} \\ {HK\bot SM} \end{array}\right\}\to ((SBC),(SAB))=\angle HIK \[\frac{HB}{HC} =\frac{AB}{AC} =\frac{1}{2} \to \left\{\begin{array}{l} {BH=\frac{a\sqrt{5} }{3} } \\ {CH=\frac{2a\sqrt{3} }{5} } \end{array}\right. .\] \)
\(\[\begin{array}{l} {\frac{HM}{AC} =\frac{BH}{BC} =\frac{1}{3} \to HM=\frac{2a}{3} } \\ {\to SM=HM.\tan 60^{\circ } =\frac{2a\sqrt{3} }{3} } \end{array}\] \)
\(\[HK=HM.\sin 60^{\circ } =\frac{2a}{3} .\frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{a\sqrt{3} }{3} \] \)
\(\[\begin{array}{l} {\frac{1}{MI^{2} } =\frac{1}{BM^{2} } +\frac{1}{SM^{2} } =\frac{51}{20a^{2} } \to MI^{2} =\frac{20a^{2} }{51} } \\ {IK=\sqrt{HI^{2} -HK{}^{2} } =\frac{a\sqrt{17} }{17} } \\ {\to \tan \alpha =\frac{HK}{IK} =\frac{\sqrt{17} }{\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{51} }{3} .} \end{array}\] \)