Chọn C
Cách 1:
Đặt \(\left\{\begin{array}{l} {x=3+\sqrt{5} \sin x} \\ {y=1+\sqrt{5} \cos x} \end{array}\right. \; \Rightarrow x+2y+1=3+\sqrt{5} \sin x+2(1+\sqrt{5} \cos x)+1=\sqrt{5} \sin x+2\sqrt{5} \cos x+6\)
Xét \( \sqrt{5} \sin x+2\sqrt{5} \cos x+6=t\Leftrightarrow \sqrt{5} \sin x+2\sqrt{5} \cos x=t-6\Rightarrow (\sqrt{5} )^{2} +(2\sqrt{5} )^{2} \ge (t-6)^{2} \Leftrightarrow 1\le t\le 11\)
Ta có \(P=\frac{3y^{2} +4xy+7x+4y-1}{x+2y+1} =\frac{(x+2y+1)^{2} -\left[(x-3)^{2} +(y-1)^{2} \right]-(x+2y+1)+9}{x+2y+1} =\frac{t^{2} -t+4}{t} \)
Khi đó xét \(P(t)=\frac{t^{2} -t+4}{t} ;P'(t)=\frac{t^{2} -4}{t^{2} } ;P'(t)=0\Leftrightarrow t=-2;t=2 \)
Với \(1\le t\le 11\Rightarrow P_{\min } =P\eqref{GrindEQ__2_}=3 \)
Cách 2:
Đặt \(x-3=a;y-1=b\to a^{2} +b^{2} =5 khi đó x+2y+1=(3+a)+2(1+b)+1=a+2b+6 \)
\(\[P=\frac{(a+2b)^{2} +11(a+2b)+34}{a+2b+6} \] \)
Đặt\( t=a+2b\Rightarrow (a+2b)^{2} \le (1^{2} +2^{2} )(a^{2} +b^{2} )\Rightarrow t^{2} \le 25\Rightarrow -5\le t\le 5 \)
Khi đó \(P=\frac{t^{2} +11t+34}{t+6} =f(t);f'(t)=\frac{t^{2} +12t+32}{(t+6)^{2} } ;f'(t)=0\Leftrightarrow t=-8;t=-4 \)
Xét trên \(t\in \left[-5;5\right];P_{\min } =f(-4)=3 \)
