Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
0 phiếu
3 lượt xem
trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)

Cho các số dương a,b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:\( P=\frac{2}{a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} } -\frac{3}{\sqrt{a+b+c} } .\)

\(A. \frac{3}{4}  . B. -\frac{3}{4}  .\)

\(C. 2-\sqrt{3}  . D. -\frac{3}{2}  .\)
 


1 Câu trả lời

0 phiếu
bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)
 
Hay nhất

Phân tích: Nhận xét rằng nếu ta sử dụng BĐT AM -- GM cho mẫu số ở phân thức đầu ta có:
\(a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} \le a+\frac{a+b}{2} +\frac{a+b+c}{3} =\frac{11}{6} a+\frac{5}{6} b+\frac{1}{3} c.\)
Khi đó thứ tự hệ số của a, b, c giảm dần (*)

Ý tưởng cân bằng hệ số khi sử dụng AM -- GM sao cho \(a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} \le \alpha .\left(a+b+c\right)(**) \)Khi đó \(P\ge f(t),\, \, t=a+b+c, \)dễ khảo sát hàm 1 biến.

Từ (*) và (**)  ta cần cân bằng hệ số của b trong \(\sqrt{ab}  , \sqrt[{3}]{abc}  \)và hệ số của c trong \(\sqrt[{3}]{abc}\) .

Giả sử đẳng thức xảy ra khi a=nb=kc thì 1 \(a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} =a+\frac{1}{\sqrt{n} } \sqrt{a.nb} +\frac{1}{\sqrt[{3}]{nk} } \sqrt[{3}]{a.nb.kc} .\)
Để cho thuận lợi ta ưu tiên chọn n\(n,\, k,\, \sqrt{n} ,\, \sqrt[{3}]{nk}\)  là số nguyên lớn hơn 1.

Chọn \(n=4, k=4^{2} \). Thử lại:

\(a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} =a+\frac{1}{2} \sqrt{a.4b} +\frac{1}{4} \sqrt[{3}]{a.4b.16c} \le a+\frac{1}{2} \cdot \frac{a+4b}{2} +\frac{1}{4} \cdot \frac{a+4b+16c}{3} .\)

Từ đó: \(P\ge \frac{3}{2\left(a+b+c\right)} -\frac{3}{\sqrt{a+b+c} } .\)

Đặt \(t=\frac{1}{\sqrt{a+b+c} } ,\, t>0. Xét f\left(t\right)=\frac{3}{2} t^{2} -3t\, \, ,\, t>0.\)

Ta có: \(f\left(t\right)=\frac{3}{2} t^{2} -3t=\frac{3}{2} \left(t-1\right)^{2} -\frac{3}{2} \ge -\frac{3}{2} \, \, \forall t.\)

Vậy \({\mathop{\min }\limits_{\left(0;+\infty \right)}} P=-\frac{3}{2} tại t=1 .\) Đẳng thức xảy ra khi: 
\(\left\{\begin{array}{l} {t=\frac{1}{\sqrt{a+b+c} } =1} \\ {a=4b=16c} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a+b+c=1} \\ {a=4b=16c} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=\frac{16}{21} } \\ {b=\frac{4}{21} } \\ {c=\frac{1}{21} } \end{array}\right. .\)
 

Các câu hỏi liên quan

0 phiếu
1 trả lời 85 lượt xem
Cho các số dương \(a,\, b,\, c.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(P=\frac{2}{a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} } -\frac{3}{\sqrt{a+b+c} } .\) A. \(\frac{3}{4} \) B. \(-\frac{3}{4}\) . C. \(2-\sqrt{3}\) D. \(-\frac{3}{2}\) .
đã hỏi 12 tháng 10, 2020 trong Toán lớp 12 bởi phuonqmin1206 ● Cộng Tác Viên Học sinh (365 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 3 lượt xem
Cho biểu thức \(P=x+\frac{1}{\left(x-y\right)y} với x>y>0\). Giá trị nhỏ nhất của P bằng A. 2. B. 3. C. 1. D. 4
đã hỏi 27 tháng 7 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 3 lượt xem
Cho \(y\ge 0;\, \, x^{2} +x+y=6. \)Tìm giá trị nhỏ nhất mvà giá trị lớn nhất Mcủa \(P=4x+y-xy+2. \) A. m=-10 và M=10 . B. m=-10 và M=6 . C. m=6 và M=26 . D. m=6 và M=10 .
đã hỏi 21 tháng 7 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 2 lượt xem
Cho các số thực a, b thỏa mãn ab=25, \(a\ge \frac{1}{5} , b\ge 1\). Tìm Pmax của biểu thức \(P=\left(\log _{\frac{1}{5} } a\right)^{3} +\left(\log _{\frac{1}{5} } b-1\right)^{3} .\) \(A. P_{\max } =0. B. P_{\max } =5. \) \(C. P_{\max } =-\frac{4}{27} . D. P_{\max } =-\frac{27}{4} . \)
đã hỏi 27 tháng 7 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 6 lượt xem
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x^{3} z}{y^{2} \left(xz+y^{2} \right)} +\frac{y^{4} }{z^{2} \left(xz+y^{2} \right)} +\frac{z^{3} +15x^{3} }{x^{2} z}\) , biết 0 A. 12. B. 18. C. 10. D. 14.
đã hỏi 21 tháng 7 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 6 lượt xem
Cho x,y là những số thực thỏa mãn\( x^{2} -xy+y^{2} =1\). Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x^{4} +y^{4} +1}{x ... =M+15m là: \(A. 17-2\sqrt{6} . B. 17-\sqrt{6} .\) \(C. 17+\sqrt{6} . D. 17+2\sqrt{6} .\)
đã hỏi 21 tháng 7 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 3 lượt xem
Cho x,y,z là các số thực thay đổi thỏa mãn x+y+z=0 và \(2\left(xy+yz+zx\right)+1=0\) . Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P=\ ... y\right)\). Tính M+m? \(A.0 . B. \frac{128}{15} .\) \(C. -3 . D. \frac{128}{5} .\)
đã hỏi 27 tháng 7 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 1 đã xem
Xét các số thực dương x,y thỏa \(\log _{2} \frac{x^{2} +y^{2} }{3xy+x^{2} } +x^{2} +2y^{2} +1\le 3xy. \)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{2x^{2} -xy+2y^{2} }{2xy-y^{2} } .\) \(A. \frac{1+\sqrt{5} }{2} . B. \frac{1}{2} .\) \(C. \frac{5}{2} . D. \frac{3}{2} . \)
đã hỏi 27 tháng 7 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 5 lượt xem
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left(x\right)=\left|4\sqrt{2x-x^{2} } -mx\right|\),m là tham số. Tìm m để M đạt giá trị nhỏ nhất. \(A. \frac{\sqrt{2} }{2} . B. 2\sqrt{2} .\) \(C. \frac{\sqrt{2} }{4} . D. \sqrt{2} .\)
đã hỏi 21 tháng 7 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 7 lượt xem
Cho các số thực dương thay đổi a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức \(A=2\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \right)+\frac{ab+bc+ca}{a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a} .\) A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.
đã hỏi 27 tháng 7 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Thạc sĩ (6.7k điểm)

Selfomy Hỏi Đáp

Là nền tảng hỏi bài tập, trao đổi bài tập từ lớp 1 đến lớp 12 và nhận lời giải nhanh chóng, dễ dàng, miễn phí được tin dùng bởi 60.000 học sinh cả nước


Dành cho người mới

  1. SayoHikawa

    527 Điểm

  2. phamngoctienpy1987844

    429 Điểm

  3. Sunny_Rose2207

    118 Điểm

  4. manh7a1

    61 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4-10: 20.000 đồng
  1. phamngoctienpy1987844

    319 Điểm

  2. Sunny_Rose2207

    106 Điểm

  3. TZy

    56 Điểm

  4. mai374182255

    55 Điểm

...