Question

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left(SBM\right)\) và \(\left(SAC\right).\)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng BMvà mp\(\left(SAC\right).\)

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp\(\left(ABM\right).\)

Answer 1

a) Trong mp\(\left(SCD\right)\), kẻ SM cắt CD tại N.

Trong mp\(\left(ABCD\right)\), gọi O là giao điểm của  AC và BN.

Khi đó, ta có \(S\in \left(SBM\right)\cap \left(SAC\right).  (1)\)

Ta có \(N\in SM\Rightarrow N\in \left(SBM\right)\)

Mặt khác, \(\left\{\begin{array}{l} {O=AC\cap BN} \\ {AC\subset \left(SAC\right)} \\ {BN\subset \left(SBM\right)} \end{array}\right. \)

\(\Rightarrow O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBM\right). (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) ta có SO là giao tuyến

của hai mặt phẳng \(\left(SBM\right)\) và \(\left(SAC\right).\)

b) Trong mp\(\left(SBM\right)\), gọi I là giao điểm của SO và BM.

Vì \(SO\subset \left(SAC\right)\), nên I là giao điểm của BM và mặt phẳng \(\left(SAC\right).\)

c) Trong mp\(\left(SAC\right)\), đường thẳng AI cắt SC tại J.

Trong mp\(\left(SCD\right)\), đường thẳng JM cắt SD tại K.

Khi đó, ta có\( \left\{\begin{array}{l} {\left(ABM\right)\cap \left(ABCD\right)=AB} \\ {\left(ABM\right)\cap \left(SAB\right)=AB} \\ {\left(ABM\right)\cap \left(SBC\right)=BJ} \\ {\left(ABM\right)\cap \left(SCD\right)=JK} \\ {\left(ABM\right)\cap \left(SAD\right)=AK} \end{array}\right.\)

suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi

mặt phẳng\( \left(ABM\right)\) là tứ giác ABJK.