Question

Cho hình chóp \(S.\, ABCD\) có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, M là trung điểm cạnh bên SA và N là điểm bất kì thuộc cạnh bên SC (N không là trung điểm của SC).
a) Xác định giao tuyến của \(\left(ABN\right) \) và \(\left(CDM\right).\)

b) Tìm giao điểm của MN với \(\left(SBD\right).\)

c) Gọi P là một điểm thuộc cạnh AB. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left(MNP\right). \)

Answer 1

 

Xác định giao tuyến của \(\left(ABN\right)\) và \(\left(CDM\right).\)

Trong \(\left(ABCD\right)\), gọi \(I=AB\cap CD\), trong \(\left(SAC\right),\)

gọi \(J=AN\cap CM\).

Ta có:\(\left\{\begin{array}{l} {I\in AB\subset \left(ABN\right)} \\ {I\in CD\subset \left(CDM\right)} \end{array}\right. \Rightarrow I\in \left(ABN\right)\cap \left(CDM\right)\, \, \, \left(1\right).\)

Mặt khác: \(\left\{\begin{array}{l} {J\in AN\subset \left(ABN\right)} \\ {J\in CM\subset \left(CDM\right)} \end{array}\right. \Rightarrow J\in \left(ABN\right)\cap \left(CDM\right)\, \, \, \left(2\right).\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(\left(ABN\right)\cap \left(CDM\right)=IJ. \)
Tìm giao điểm của MN với \(\left(SBD\right).\)

Chọn \(\left(SAC\right)\) chứa MN, trong \(\left(ABCD\right)\), gọi \(O=AC\cap BD\).

Ta có: \(S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)\, \, \, \left(3\right).\)

Mặt khác:\( \left\{\begin{array}{l} {O\in AC\subset \left(SAC\right)} \\ {O\in BD\subset \left(SBD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)\, \, \, \left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) suy ra \(\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO.\)

Trong \(\left(SAC\right)\), gọi \(H=MN\cap SO.\)

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {H\in MN} \\ {H\in SO\subset \left(SBD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow MN\cap \left(SBD\right)=\left\{H\right\}.\)

 Gọi P là một điểm thuộc cạnh AB.

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left(MNP\right). \)

Trong \(\left(SAC\right)\), gọi \(K=MN\cap AC\).

Trong \(\left(ABCD\right)\), gọi \(\left\{\begin{array}{l} {Q=PK\cap BC} \\ {E=PK\cap CD} \end{array}\right. .\)

Trong \(\left(SCD\right)\), gọi \(F=EN\cap SD\).

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {\left(MNP\right)\cap \left(SAB\right)=MP} \\ {\left(MNP\right)\cap \left(ABCD\right)=PQ} \\ {\left(MNP\right)\cap \left(SBC\right)=QN} \\ {\left(MNP\right)\cap \left(SCD\right)=NF} \\ {\left(MNP\right)\cap \left(SDA\right)=FM} \end{array}\right. .\)

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left(MNP\right)\) là ngũ giác MPQNF.