Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, ASB = ASC =90° , BSC =60° . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Question

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, \(\widehat{ASB}=\widehat{ASC}=90{}^\circ\) , \(\widehat{BSC}=60{}^\circ\) . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

\(A. \frac{7\pi a^{2} }{6} .\)

\(B. \frac{7\pi a^{2} }{3} . \)

\(C. \frac{7\pi a^{2} }{18} . \)

\(D. \frac{7\pi a^{2} }{12} .\)

Answer 1

Chọn B

Vì \(\widehat{ASB}=\widehat{ASC}=90{}^\circ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {AS\, \bot \, SB} \\ {AS\, \bot \, SC} \end{array}\right. \Rightarrow AS\, \bot \, \left(SBC\right), \)

\(\left\{\begin{array}{l} {SA=SB=SC} \\ {\widehat{BSC}=60{}^\circ } \end{array}\right. \Rightarrow \Delta BSC\) đều.

Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác BSC

\(\Rightarrow SM=\frac{SB\sqrt{3} }{2} =\frac{a\sqrt{3} }{2} \Rightarrow SG=\frac{2}{3} SM=\frac{a\sqrt{3} }{3} .\)

Dựng \(Gd//SA\Rightarrow Gd\bot \left(SBC\right).\)

Dựng \(Ns//SM\Rightarrow Ns\cap Gd=I\) và I là tâm mặt

cầu ngoại tiếp khối chóp A.SBC và bán kính mặt cầu

\(R=IA=IS=IB=IC.\)

Ta có NIGS là hình chữ nhật \(\Rightarrow  NI=SG=\frac{a\sqrt{3} }{3} .\)

Tam giác ANI vuông tại N 

\( \Rightarrow R=IA=\sqrt{AN^{2} +NI^{2} } =\sqrt{\frac{a^{2} }{4} +\frac{a^{2} }{3} } =\frac{a\sqrt{7} }{\sqrt{12} } .\)

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là

\(S=4\pi R^{2} =4\pi .\frac{7a^{2} }{12} =\frac{7\pi a^{2} }{3} .\)