Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫sinx/1+sin2xdx

Question

\(\int \frac{\sin x}{1+\sin 2x} {\rm d}x\)

Answer 1

Đặt \(I_{1} =\int \frac{\sin x}{1+\sin 2x} {\rm d}x\) và \(\overline{I_{1} }=\int \frac{\cos x}{1+\sin 2x} {\rm d}x\) .

Ta có 
\(I_{1} +\overline{I_{1} }=\int \frac{\sin x+\cos x}{1+\sin 2x} {\rm d}x =\int \frac{\sin x+\cos x}{\left(\sin x+\cos x\right)^{2} } {\rm d}x =\int \frac{1}{\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi }{4} \right)} {\rm d}x=\frac{1}{\sqrt{2} } \ln \left|\tan \left(\frac{x}{2} +\frac{\pi }{8} \right)\right|+C\)
       \(\overline{I_{1} }-I_{1} =\int \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2x} {\rm d}x =\int \frac{{\rm d}\left(\sin x+\cos x\right)}{\left(\sin x+\cos x\right)^{2} } =-\frac{1}{\sin x+\cos x} +C\)

Nên

\(2I_{1} =\frac{1}{\sqrt{2} } \ln \left|\tan \left(\frac{x}{2} +\frac{\pi }{8} \right)\right|+\frac{1}{\sin x+\cos x} +C \Rightarrow I_{1} =\frac{1}{2\sqrt{2} } \ln \left|\tan \left(\frac{x}{2} +\frac{\pi }{8} \right)\right|+\frac{1}{2\left(\sin x+\cos x\right)} +C\)