Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|(1-4i)=z(2-3i)+z?

Question

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left|z\right|\left(1-4i\right)=\bar{z}\left(2-3i\right)+z\)?

A. 4.

B.3.

C.2.

D. 1.

Answer 1

Chọn D

Đặt \(z=a+bi,a,b\in {\rm R}.\) Phương trình trở thành:
\(\sqrt{a^{2} +b^{2} } \left(1-4i\right)=\left(a-bi\right)\left(2-3i\right)+a+bi\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} +b^{2} } -4\sqrt{a^{2} +b^{2} } i=3a-3b-\left(3a+b\right)i \)
\( \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {3a-3b=\sqrt{a^{2} +b^{2} } } \\ {3a+b=4\sqrt{a^{2} +b^{2} } } \end{array}\right.\)\( \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {4\left(3a-3b\right)=4\sqrt{a^{2} +b^{2} } } \\ {3a-3b=\sqrt{a^{2} +b^{2} } } \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {4\left(3a-3b\right)=3a+b} \\ {3a-3b=\sqrt{a^{2} +b^{2} } } \end{array}\right. \)\( \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {9a=13b} \\ {3a-3b=\sqrt{a^{2} +b^{2} } } \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {9a=13b} \\ {13b-9b=3\sqrt{a^{2} +b^{2} } } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {9a=13b} \\ {4b=3\sqrt{a^{2} +b^{2} } {\rm \; \; \; }} \end{array}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {9a=13b} \\ {16b^{2} =9\left(a^{2} +b^{2} \right)} \\ {b\ge 0} \end{array}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {9a=13b} \\ {7b^{2} =9a^{2} } \\ {b\ge 0} \end{array}\right. \) 

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=0} \\ {b=0} \end{array}\right. .\)
Với \(b=0\Rightarrow a=0\Rightarrow z=0\).

Vậy có 1 số phức thỏa mãn.

Chọn phương án D.