Chọn C
Đặt \(z=z+yi,\, \, \left(x,y\in {\rm R}\right) \)
\(\left|z+i\right|=2\Leftrightarrow x^{2} +\left(y-1\right)^{2} =4\)
\(\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} +2y=3\Leftrightarrow 3x^{2} +3y^{2} +6y=9\)
\(\Rightarrow x^{2} +y^{2} +9=4x^{2} +4y^{2} +6y \)
Cách 1:
\(P=\left|z+i-4\right|+2\left|z+3i-3\right|\)
\(=\sqrt{\left(x-4\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \)
\(=\sqrt{x^{2} +y^{2} -8x+2y+17} +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \)
\(=\sqrt{x^{2} +y^{2} +9-8x+2y+8} +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \)
\(=\sqrt{4x^{2} +4y^{2} +6y-8x+2y+8} +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \)
\(=2\sqrt{\left(x-1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \)
\(=2\left[\sqrt{\left(x-1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \right]\)
Áp dụng bất đẳng thức Mincoski:
\(\sqrt{a^{2} +b^{2} } +\sqrt{c^{2} +d^{2} } \ge \sqrt{\left(a+c\right)^{2} +\left(b+d\right)^{2} } \)
\(\Rightarrow P\ge 2\sqrt{\left(x-1+3-x\right)^{2} +\left(y+1-y-3\right)^{2} } =4\sqrt{2} .\)
Vậy \(MinP=4\sqrt{2} .\)
Cách 2:
Đặt \( z=z+yi,\, \, \left(x,y\in {\rm R}\right) \)
\(\left|z+i\right|=2\Leftrightarrow x^{2} +\left(y-1\right)^{2} =4\)
\(\Rightarrow\) tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z
là đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(0;-1\right)\), bán kính R=2.
\(P=\left|z+i-4\right|+2\left|z+3i-3\right|\)
\(=\sqrt{\left(x-4\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} }
\)
\(=2\sqrt{\left(x-1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +2\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +\left(y+3\right)^{2} } \)
Gọi \(A\left(1;-1\right),\, B\left(3;-3\right) \)
Nhận thấy A nằm trong đường tròn \(\left(C\right)\),
B nằm ngoài đường tròn \( \left(C\right) \)
\(\Rightarrow P=2\left(MA+MB\right)\ge 2AB=4\sqrt{2}\) .
Dấu ``='' xảy ra khi M thuộc đoạn AB.
trannhat900 
phamngoctienpy1987844 
vxh2k9850 
Nqoc_baka 