x2−xy+3=0và2x+3y≤14.Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP=3x2y−xy2−2x(x2−1).

Question

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn: \(x^{2} -xy+3=0 và 2x+3y\le 14. \)Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức\( P=3x^{2} y-xy^{2} -2x\left(x^{2} -1\right). \)Tính T=2M-m.

A. T=12.

B. T=4.

C. T=3.

D. T=0.
 

Answer 1

Chọn A

Ta có\(x^{2} -xy+3=0\Leftrightarrow y=\frac{x^{2} +3}{x} .\)

Lại có \(2x+3y\le 14\Rightarrow 2x+3\left(\frac{x^{2} +3}{x} \right)\le 14\Leftrightarrow 5x^{2} -14x+9\le 0\Leftrightarrow 1\le x\le \frac{9}{5} .\)

Khi đó \(P=3x^{2} \left(\frac{x^{2} +3}{x} \right)-x\left(\frac{x^{2} +3}{x} \right)^{2} -2x\left(x^{2} -1\right)\)
\(\[=3x\left(x^{2} +3\right)-x\left(\frac{\left(x^{2} +3\right)^{2} }{x^{2} } \right)-2x^{3} +2x=5x-\frac{9}{x} .\] \)
Có \(P'=5+\frac{9}{x^{2} } >0\, ,\, \forall x\in \left[1;\frac{9}{5} \right]\Rightarrow P\eqref{GrindEQ__1_}\le P(x)\le P(\frac{9}{5} ),\forall x\in \left[1;\frac{9}{5} \right]\)

Nên \(m=P\left(1\right)=-4;M=P\left(\frac{9}{5} \right)=4\Rightarrow T=2.4-\left(-4\right)=12.\)