Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
0 phiếu
87 lượt xem
trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)

Xét các số thực dương x,y thỏa \(\log _{2} \frac{x^{2} +y^{2} }{3xy+x^{2} } +x^{2} +2y^{2} +1\le 3xy. \)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{2x^{2} -xy+2y^{2} }{2xy-y^{2} } .\)

\(A. \frac{1+\sqrt{5} }{2} . B. \frac{1}{2} .\)

\(C. \frac{5}{2} .  D. \frac{3}{2} . \)


1 Câu trả lời

0 phiếu
bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
 
Hay nhất

Chọn C

Ta có:\( \log _{2} \frac{x^{2} +y^{2} }{3xy+x^{2} } +x^{2} +2y^{2} +1\le 3xy\)
\(\Leftrightarrow \log _{2} \left(x^{2} +y^{2} \right)-\log _{2} \left(3xy+x^{2} \right)+x^{2} +2y^{2} +1\le 3xy\)
\(\Leftrightarrow \log _{2} \left(2x^{2} +2y^{2} \right)-\log _{2} \left(3xy+x^{2} \right)+x^{2} +2y^{2} -3xy\le 0\)
\(\Leftrightarrow \log _{2} \left(2x^{2} +2y^{2} \right)+2x^{2} +2y^{2} \le \log _{2} \left(3xy+x^{2} \right)+3xy+x^{2} \)
Xét hàm số\( f\left(t\right)=\log _{2} t+t\, \, \, \left(t>0\right)\)

Ta có: \(f'\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 2} +1>0,\forall t>0.\)

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng\( \left(0,+\infty \right).\)

Đặt \(t=\frac{x}{y}  BPT \eqref{GrindEQ__1_} trở thành: t^{2} -3t+2\le 0 \Leftrightarrow 1\le t\le 2.P=\frac{2x^{2} -xy+2y^{2} }{2xy-y^{2} } =\frac{2\left(\frac{x}{y} \right)^{2} -\frac{x}{y} +2}{2\frac{x}{y} -1} \Rightarrow P\left(t\right)=\frac{2t^{2} -t+2}{2t-1} ,\, \, t\in \left[1,2\right]\)
Suy ra: \(P'=\frac{4t^{2} -4t-3}{\left(2t-1\right)^{2} }  \)
\(P'=0\Leftrightarrow 4t^{2} -4t-3=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=-\frac{1}{2} \, \, \left(L\right)\, } \\ {t=\frac{3}{2} \, \, \, \left(N\right)} \end{array}\right. \)
Ta có: \(P\left(1\right)=3, P\left(\frac{3}{2} \right)=\frac{5}{2} , P\left(2\right)=\frac{8}{3} .\Rightarrow \min P=\frac{5}{2} . \)

Các câu hỏi liên quan

0 phiếu
1 trả lời 281 lượt xem
Cho các số thực x,y thỏa mãn \(x+y=2\left(\sqrt{x-3} +\sqrt{y+3} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=4\left(x^{2} +y^{2} \right)+15xy\) là \(A. \min P=-83. B. \min P=-63.\) \(C. \min P=-80. D. \min P=-91.\)
đã hỏi 11 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 134 lượt xem
Cho biểu thức \(P=x+\frac{1}{\left(x-y\right)y} với x>y>0\). Giá trị nhỏ nhất của P bằng A. 2. B. 3. C. 1. D. 4
đã hỏi 27 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 441 lượt xem
Cho các số thực a, b, c>1 và các số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn \(a^{x} =b^{y} =c^{z} =\sqrt{abc} \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{16}{x} +\frac{16}{y ... 2} . \) A. 24. B. 20. \(C. 20-\frac{3}{\sqrt[{3}]{4} } . D. 24-\frac{3}{\sqrt[{3}]{4} } .\)
đã hỏi 27 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 74 lượt xem
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn: \(x^{2} -xy+3=0 và 2x+3y\le 14. \)Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức\( P=3x^{2} y-xy^{2} -2x\left(x^{2} -1\right). \)Tính T=2M-m. A. T=12. B. T=4. C. T=3. D. T=0.
đã hỏi 11 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 47 lượt xem
Cho 2 số thực x,y thỏa mãn xy-2x+y=27. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{x^{4} -8x^{3} +24x^{2} -32x+17} +\sqrt{y^{4} -20y^{3} +150y^{2} -500y+626} \)có dạng \(a\sqrt{b} ,\left(a,b\in {\rm N}\right).\) Khi đó a+b bằng A. 21. B. 7. C. 30. D. 19.
đã hỏi 11 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 456 lượt xem
Cho các số thực x,y thay đổi thoả mãn \(x^{2} +2y^{2} +2xy=1\) và hàm số \(f\left(t\right)=t^{4} -t^{2} +2\) . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ ... (A. 8\sqrt{3} -2. \) \(B. \frac{303}{2} .\) \(C. \frac{303}{4} \). \(D. 4\sqrt{3} +2.\)
đã hỏi 12 tháng 10, 2020 trong Toán lớp 12 bởi phuonqmin1206 ● Cộng Tác Viên Học sinh (273 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 62 lượt xem
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^{2} +\left(x+2\right)\sqrt{x-2} +m}{\sqrt{6-x} +2} . \)Biết hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10, tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) A. 14. B. 24. C. 34. D. 44.
đã hỏi 11 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 224 lượt xem
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^{2} +5}{\sqrt{x^{2} +4} } .\) A. m=2. B. m=1. \(C. m=\frac{5}{2} .\) D. Không tồn tại m.
đã hỏi 11 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 337 lượt xem
Cho \(y\ge 0;\, \, x^{2} +x+y=6. \)Tìm giá trị nhỏ nhất mvà giá trị lớn nhất Mcủa \(P=4x+y-xy+2. \) A. m=-10 và M=10 . B. m=-10 và M=6 . C. m=6 và M=26 . D. m=6 và M=10 .
đã hỏi 21 tháng 7, 2021 trong Toán lớp 12 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 83 lượt xem
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(y=\sin \frac{2x}{1+x^{2} } +\cos \frac{4x}{1+x^{2} } +1. \)
đã hỏi 18 tháng 8, 2021 trong Toán lớp 11 bởi nhthuyvy16 ● Cộng Tác Viên Tiến sĩ (16.5k điểm)

HOT 1 giờ qua

  1. nguyenmanh04102009212

    166 Điểm

  2. tnk11022006452

    120 Điểm

  3. hoconghung031007464

    80 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4-10: 20.000 đồng
Bảng xếp hạng cập nhật 30 phút một lần
...