Cho tứ diện ABCD có AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥DA;BA=a,CD=a15,góc giữa AB và CD bằng 30 độ . V tứ diện bằng

Question

Cho tứ diện ABCD có \(AB\bot BC, BC\bot CD, CD\bot DA; BA=a, CD=a\sqrt{15} \); góc giữa AB và CD bằng 30 độ . Thể tích tứ diện bằng

A. \frac{5a^{3} }{2} . B. \frac{5a^{3} \sqrt{3} }{2} . C. \frac{5a^{3} }{6} . D. \frac{5a^{3} \sqrt{3} }{6} .
 

Answer 1

Chọn D

Kẻ \(AH\bot \left(BCD\right) \)

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {BC\bot AB} \\ {BC\bot AH} \end{array}\right. \Rightarrow BC\bot \left(ABH\right)\Rightarrow BC\bot BH \)

Lại có: \(\left\{\begin{array}{l} {CD\bot AD} \\ {CD\bot AH} \end{array}\right. \Rightarrow CD\bot \left(ADH\right)\Rightarrow CD\bot DH \)

Suy ra DHBC là hình chữ nhật.
\(\[\Rightarrow BH{\rm //}CD\] \)
\(\[\Rightarrow \widehat{\left(AB,CD\right)=}\widehat{\left(AB,BH\right)}=\widehat{ABH}=30{}^\circ \] \)
\(\[V_{ABCD} =\frac{1}{3} AH.S_{\Delta BCD} =\frac{1}{3} .\left(a\sqrt{15} \tan 30{}^\circ \right).\left(\frac{1}{2} a.a\sqrt{15} \right)=\frac{5a^{3} \sqrt{3} }{6} .\] \)