Cho biểu thức P=x+1(x−y)y với x>y>0. Giá trị nhỏ nhất của P bằng

Question

Cho biểu thức \(P=x+\frac{1}{\left(x-y\right)y}\)  với x>y>0. Giá trị nhỏ nhất của P bằng

A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 4

Answer 1

Chọn B

Với điều kiện x>y>0 ta có x-y>0. 

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương \(x-y,\, y,\, \frac{1}{\left(x-y\right)y}\)  ta có:
\(x+\frac{1}{\left(x-y\right)y} =\left(x-y\right)+y+\frac{1}{\left(x-y\right)y} \ge 3\sqrt[{3}]{\left(x-y\right).y.\frac{1}{\left(x-y\right)y} } =3. \)

Dấu `` = '' xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{array}{l} {x>y>0} \\ {x-y=y=\frac{1}{\left(x-y\right)y} } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=2} \\ {y=1} \end{array}\right. .\)