Phân tích: Nhận xét rằng nếu ta sử dụng BĐT \(AM -- GM\) cho mẫu số ở phân thức đầu ta có:
\(a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} \le a+\frac{a+b}{2} +\frac{a+b+c}{3} =\frac{11}{6} a+\frac{5}{6} b+\frac{1}{3} c\).
Khi đó thứ tự hệ số của a,\, b,\, c giảm dần (*)
Ý tưởng cân bằng hệ số khi sử dụng AM -- GM sao cho \(a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} \le \alpha .\left(a+b+c\right)(**) \) Khi đó \(P\ge f(t),\, \, t=a+b+c\), dễ khảo sát hàm 1 biến.
Từ (*) và (**) ta cần cân bằng hệ số của b trong \(\sqrt{ab} , \sqrt[{3}]{abc}\) và hệ số của c trong \(\sqrt[{3}]{abc} .\)
Giả sử đẳng thức xảy ra khi a=nb=kc thì 1
\(a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} =a+\frac{1}{\sqrt{n} } \sqrt{a.nb} +\frac{1}{\sqrt[{3}]{nk} } \sqrt[{3}]{a.nb.kc} \).
Để cho thuận lợi ta ưu tiên chọn n\(n,\, k,\, \sqrt{n} ,\, \sqrt[{3}]{nk}\) là số nguyên lớn hơn 1.
Chọn \(n=4, k=4^{2}\) . Thử lại:
\(a+\sqrt{ab} +\sqrt[{3}]{abc} =a+\frac{1}{2} \sqrt{a.4b} +\frac{1}{4} \sqrt[{3}]{a.4b.16c} \le a+\frac{1}{2} \cdot \frac{a+4b}{2} +\frac{1}{4} \cdot \frac{a+4b+16c}{3} . Từ đó: P\ge \frac{3}{2\left(a+b+c\right)} -\frac{3}{\sqrt{a+b+c} } .\)
Đặt\( t=\frac{1}{\sqrt{a+b+c} } ,\, t>0.\) Xét \(f\left(t\right)=\frac{3}{2} t^{2} -3t\, \, ,\, t>0.\)
Ta có: f\(\left(t\right)=\frac{3}{2} t^{2} -3t=\frac{3}{2} \left(t-1\right)^{2} -\frac{3}{2} \ge -\frac{3}{2} \, \, \forall t.\)
Vậy \({\mathop{\min }\limits_{\left(0;+\infty \right)}} P=-\frac{3}{2}\) tại t=1 . Đẳng thức xảy ra khi:
\(\left\{\begin{array}{l} {t=\frac{1}{\sqrt{a+b+c} } =1} \\ {a=4b=16c} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a+b+c=1} \\ {a=4b=16c} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=\frac{16}{21} } \\ {b=\frac{4}{21} } \\ {c=\frac{1}{21} } \end{array}\right. . \)
trannhat900 
phamngoctienpy1987844 
vxh2k9850 
Nqoc_baka 