Phương trình z^6-9z^3+8=0 trên tập số phức C có bao nhiêu nghiệm?

Question

Phương trình \(z^{6} -9z^{3} +8=0\)  trên tập số phức \({\rm C}\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 4.

B. 5.

C. 8.

D. 6.

Answer 1

Ta chọn câu D

Đặt \(t=z^{3}\) . Khi đó phương trình trở thành:

\(t^{2} -9t+8=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=8} \\ {t=1} \end{array}\right. .\)

Với t=8 ta có:

\(z^{3} =8\Leftrightarrow \left(z-2\right)\left(z^{2} +2z+4\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {z-2=0} \\ {z^{2} +2z+4=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {z_{1} =2} \\ {z_{2} =-1+\sqrt{3} i} \\ {z_{3} =-1-\sqrt{3} i} \end{array}\right. .\)

Với t=1 ta có:

\(z^{3} =1\Leftrightarrow \left(z-1\right)\left(z^{2} +z+1\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {z-1=0} \\ {z^{2} +z+1=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {z_{4} =1} \\ {z_{5} =-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3} }{2} i} \\ {z_{6} =-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3} }{2} i} \end{array}\right. .\)

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm trên tập số phức \({\rm C}.\)