Có bao nhiêu số nguyên m∈(-2020; 2020) để hàm số y=cos x+1/10cos x+m đồng biến trên khoảng...

Question

Có bao nhiêu số nguyên \(m\in \left(-2020\, ;\, 2020\right)\) để hàm số \(y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}\)  đồng biến trên khoảng \(\left(0\, ;\, \frac{\pi }{2} \right)~?\)

A. 2020.

B. 2021.

C. 2019.

D. 4038.

Answer 1

Chọn A

 Cách 1: Trắc nghiệm. Điều kiện: \(\cos x\ne -\frac{m}{10} .\)

 Với \(x\in \left(0\, ;\, \frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \sin x\, \, ,\, \, \cos x\in \left(0\, ;\, 1\right).\)

 Ta có\(~: y'=\frac{-\sin x\left(10\cos x+m\right)+10\sin x\left(\cos x+1\right)}{\left(10\cos x+m\right)^{2} } =\frac{-\left(m-10\right)\sin x}{\left(10\cos x+m\right)^{2} } .\)

 Để hàm số \(y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}\)  đồng biến trên khoảng \(\left(0\, ;\, \frac{\pi }{2} \right) \)

\(thì \left\{\begin{array}{l} {-\left(m-10\right)>0} \\ {-\frac{m}{10} \notin \left(0\, ;\, 1\right)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m<10} \\ {\left[\begin{array}{l} {-\frac{m}{10} \le 0} \\ {-\frac{m}{10} \ge 1} \end{array}\right. } \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m<10} \\ {\left[\begin{array}{l} {m\ge 0} \\ {m\le -10} \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {m\le -10} \\ {0\le m<10} \end{array}\right. .\)

 Mà \(\left\{\begin{array}{l} {m\in {\rm Z}} \\ {m\in \left(-2020\, ;\, 2020\right)} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {m\in {\rm Z}} \\ {-2020<m\le -10\cup 0\le m<10} \end{array}\right.\)

\( \Rightarrow m\in \left\{-2019\, ;-2018\, ;..;-10\, ;\, 0\, ;\, 1\_ ;..;9\right\}.\)

 Cách 2: Đặt \(t=\cos x, x\in \left(0\, ;\, \frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow t\in \left(0;1\right). \)

 Ta có hàm số \(t=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0\, ;\, \frac{\pi }{2} \right)\)

nên để hàm số \(y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}\)  đồng biến trên khoảng \(\left(0\, ;\, \frac{\pi }{2} \right)\)

\(\Leftrightarrow\) Hàm số \(y=\frac{t+1}{10t+m} =f\left(t\right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0\, ;\, 1\right).\)
\(\Leftrightarrow\) \(f'\left(t\right)=\frac{m-10}{\left(10t+m\right)^{2} } <0,\forall t\in \left(0;1\right) \)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l} {m-10<0} \\ {-\frac{m}{10} \notin \left(0\, ;\, 1\right)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m<10} \\ {\left[\begin{array}{l} {m\le -10} \\ {m\ge 0} \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {m\le -10} \\ {0\le m<10} \end{array}\right. . \)