Question

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y=m^{2} \sin x+8x\) đồng biến trên \(\left(-\infty ;+\infty \right).\)

 A. 4.

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Answer 1

Chọn B
\(y'=m^{2} .\cos x+8 \)

Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty ;+\infty \right)\)

\(\Leftrightarrow y'=m^{2} \cos x+8\ge 0,\, \forall x\in {\it {\rm R}}\)

 Nếu m=0: Khi đó \(y'=8>0,\, \forall x\in R\) 

nên hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty ;+\infty \right)\)

 Nếu \(m\ne 0\Leftrightarrow m^{2} >0\):

Khi đó \(m^{2} \cos x+8\ge 0\Leftrightarrow \cos x\ge \frac{-8}{m^{2} } .\)

 Đặt \(t=\cos x\) với \(t\in \left[-1;1\right].\)

 Ta có: \(\frac{-8}{m^{2} } \le t,\forall t\in \left[-1;1\right]\Leftrightarrow \frac{-8}{m^{2} } \le -1\Leftrightarrow -2\sqrt{2} \le m\le 2\sqrt{2} . \)

 Kết hợp với \(m\ne 0\) ta có \(m\in \left[-2\sqrt{2} ;2\sqrt{2} \right]\backslash \left\{0\right\}.\)

 Kết hợp 2 trường hợp suy ra \(m\in \left[-2\sqrt{2} ;2\sqrt{2} \right]. \)

 Vì \(m\in {\rm Z}\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;\, \, 0;\, \, 1;\, \, 2\right\}.\)

 Vậy có 5 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu.