Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|(z-4-i)+2i=(5-i)z ?

Question

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left|z\right|\left(z-4-i\right)+2i=\left(5-i\right)z\) ?

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Answer 1

Chọn B
\(\left|z\right|\left(z-4-i\right)+2i=\left(5-i\right)z\,\)

\( \Leftrightarrow \, z\left(5-i-\left|z\right|\right)=-4\left|z\right|+\left(2-\left|z\right|\right)i. \)
Lấy mô đun hai vế ta được:

\(\left|z\right|\left|5-i-\left|z\right|\right|=\left|-4\left|z\right|+\left(2-\left|z\right|\right)i\right|.\)

Đặt \(t=\left|z\right|\, ,\, t\ge 0\) ta có :
\(t\left|5-t-i\right|=\left|-4t+\left(2-t\right)i\right|\, \Leftrightarrow \, t\sqrt{\left(5-t\right)^{2} +1} \)

\(=\sqrt{16t^{2} +\left(2-t\right)^{2} } \, \Leftrightarrow \, t^{4} -10t^{3} +9t^{2} +4t-4=0\)
\(\Leftrightarrow \left(t-1\right)\left(t^{3} -9t^{2} +4\right)=0\, \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=1} \\ {t\approx 8,95} \\ {t\approx 0,69} \\ {t\approx -0,64\, \left(Loai\right)} \end{array}\right. .\)
Ứng với mỗi giá trị của \(t\ge 0\, \Rightarrow z=\frac{-4t+\left(2-t\right)i}{5-i-t} \,\)

\(\Rightarrow\)  có một số phức z thỏa mãn.

Vậy có tất cả ba số phức thỏa mãn đề bài.