Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z-1|=√2 và |z+i|+|z-2-i|=4?

Question

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left|z-1\right|=\sqrt{2}\)  và \(\left|z+i\right|+\left|z-2-i\right|=4\)?

A. 0.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Answer 1

Chọn D

Giả sử \(z=x+yi{\rm \; \; }\left(x,y\in {\rm R}\right).\)

Từ giả thiết ta có:

\(\left\{\begin{array}{l} {\left(x-1\right)^{2} +y^{2} =2} \\ {\sqrt{x^{2} +\left(y+1\right)^{2} } +\sqrt{\left(x-2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} } =4} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x^{2} +y^{2} =1+2x{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\left(1\right)} \\ {\sqrt{2+2x+2y} +\sqrt{6-2x-2y} =4{\rm \; }\left(2\right)} \end{array}\right. .\)

Xét

\(\left(2\right):\sqrt{2+2x+2y} +\sqrt{6-2x-2y} \le \sqrt{1^{2} +1^{2} } .\sqrt{2+6} =4.\)

Dấu `` = '' xảy ra khi \(x+y=1.\)

Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{array}{l} {x^{2} +y^{2} =1+2x} \\ {x+y=1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {x=0} \\ {y=1} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x=2} \\ {y=-1} \end{array}\right. } \end{array}\right. .\)

Vậy có 2 số phức thỏa mãn là :

\(z=i\) và \(z=2-i.\)