Có bao nhiêu số phức z thoả mãn |z|(z-4-i)+2i=(2+4i)z.

Question

Có bao nhiêu số phức z thoả mãn \(\left|z\right|\left(z-4-i\right)+2i=\left(2+4i\right)z.\)

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Answer 1

Chọn A

Ta có

\(\left|z\right|\left(z-4-i\right)+2i=\left(2+4i\right)z\)

\(\Leftrightarrow z\left(\left|z\right|-2-4i\right)=4\left|z\right|+\left(\left|z\right|-2\right)i.\)

Lấy môđun 2 vế phương trình trên ta được
\(\left|z\right|\sqrt{\left(\left|z\right|-2\right)^{2} +16} =\sqrt{\left(4\left|z\right|\right)^{2} +\left(\left|z\right|-2\right)^{2} } . \)
Đặt \( t=\left|z\right|, t\ge 0 \) ta được
\(t\sqrt{\left(t-2\right)^{2} +16} =\sqrt{\left(4t\right)^{2} +\left(t-2\right)^{2} } \Leftrightarrow t^{4} -4t^{3} +3t^{2} +4t-4=0. \)
\(\Leftrightarrow \left(t^{2} -1\right)\left(t-2\right)^{2} =0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=2{\rm \; \; }(N)} \\ {t=1{\rm \; \; \; }(N)} \\ {t=-1{\rm \; }(L)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left|z\right|=1} \\ {\left|z\right|=2} \end{array}\right. \)
Với \(\left|z\right|=1 \)phương trình có nghiệm \(z=\frac{4\left|z\right|+\left(\left|z\right|-2\right)i}{\left(\left|z\right|-2-4i\right)} =\frac{4-i}{-1-4i} =i.\)

Với \(\left|z\right|=2\) phương trình có nghiệm \(z=\frac{4\left|z\right|+\left(\left|z\right|-2\right)i}{\left(\left|z\right|-2-4i\right)} =\frac{8}{-4i} =2i.\)

Vậy có 2 số phức z thoả mãn.