Tìm nguyên hàm của hàm số sau: I=∫excos2xdx

Question

\(I=\int {\rm e}^{x} \cos ^{2} x\, {\rm d}x\)

Answer 1

\(I=\int {\rm e}^{x} \cos ^{2} x {\rm d}x=\int {\rm e}^{x} \frac{\cos 2x+1}{2}  {\rm d}x=\frac{1}{2} \int {\rm e}^{x}  {\rm d}x+\frac{1}{2} \int {\rm e}^{x} \cos 2x {\rm d}x=\frac{1}{2} {\rm e}^{2} +\frac{1}{2} \int {\rm e}^{x} \cos 2x {\rm d}x+C_{1} .\)
Tính \(I_{1} =\int {\rm e}^{x} \cos 2x {\rm d}x.\)

 Đặt\( \left\{\begin{array}{l} {u=\cos 2x} \\ {{\rm d}v={\rm e}^{x} {\rm d}x} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {{\rm d}u=-2\sin 2x\, {\rm d}x} \\ {v={\rm e}^{x} } \end{array}\right. .\)
\(\Rightarrow I_{1} ={\rm e}^{x} .\cos 2x-\int -2\sin 2x.{\rm e}^{x} {\rm d}x ={\rm e}^{x} .\cos 2x+2\int {\rm e}^{x} .\sin 2x.{\rm d}x +C_{2} .\)
 Tính \(I_{2} =\int {\rm e}^{x} .\sin 2x.{\rm d}x \)

 Đặt\(\left\{\begin{array}{l} {u=\sin 2x} \\ {{\rm d}v={\rm e}^{x} {\rm d}x} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {{\rm d}u=2\cos 2x\, {\rm d}x} \\ {v={\rm e}^{x} } \end{array}\right. .\)
\(\Rightarrow I_{2} ={\rm e}^{x} .\sin 2x-\int 2\cos 2x.{\rm e}^{x} .{\rm d}x ={\rm e}^{x} .\sin 2x-2I_{1} +C_{3} .\) 
Vậy: \(I=\frac{1}{2} {\rm e}^{x} +\frac{1}{2} \left(\frac{1}{5} {\rm e}^{x} .\cos 2x+\frac{2}{5} {\rm e}^{x} .\sin 2x+C_{4} \right)+C_{1} =\frac{1}{2} {\rm e}^{x} +\frac{1}{5} {\rm e}^{x} .\sin 2x+\frac{1}{10} {\rm e}^{x} .\cos 2x+C\)