Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫e2xcos3xdx

Question

\(\int e^{2x} \cos 3x{\rm d}x\)

Answer 1

Đặt \(\left\{\begin{array}{l} {u=\cos 3x} \\ {dv={\rm e}^{2x} dx} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {{\rm d}u=-3\sin 3x\, {\rm d}x} \\ {v=\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} } \end{array}\right. .\)
\(\Rightarrow \int {\rm e}^{2x} \cos 3x\, {\rm d}x=\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .\cos 3x-\int \frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .\left(-3\sin 3x\right){\rm d}x  +C_{1} \)
\(\begin{array}{l} {=\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .\cos 3x+\frac{3}{2} \int {\rm e}^{2x} .\sin 3x\, {\rm d}x +C_{1} } \\ {=\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .\cos 3x+\frac{3}{2} I_{1} +C_{1} } \end{array}\)
 Tính \(:I_{1} =\int {\rm e}^{2x} .\sin 3x\, {\rm d}x  .\)

 Đặt \(\left\{\begin{array}{l} {u=\sin 3x} \\ {{\rm d}v={\rm e}^{2x} {\rm d}x} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {{\rm d}u=3\cos 3x\, {\rm d}x} \\ {v=\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} } \end{array}\right. .\)

 Suy ra :
\(I_{1} =\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .\sin 3x-\int \frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .3\cos 3x{\rm d}x +C_{2} =\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .\sin 3x-\frac{3}{2} I+C_{2} .\)
Hay :\(I=\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .\cos 3x+\frac{3}{2} \left(\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .\sin 3x-\frac{3}{2} I+C_{2} \right)+C_{1} \) .
\(\Rightarrow \frac{13}{4} I=\frac{1}{2} {\rm e}^{2x} .\cos 3x+\frac{3}{4} {\rm e}^{2x} .\sin 3x+C_{1} +\frac{3}{2} C_{2} . \Rightarrow I=\frac{2}{13} {\rm e}^{2x} .\cos 3x+\frac{3}{13} {\rm e}^{2x} .\sin 3x+C.\)