Gọi M là max của hàm số f(x)=∣∣42x−x2√−mx∣∣,m là tham số. Tìm m để M đạt giá trị nhỏ nhất. ​

Question

Gọi M  là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left(x\right)=\left|4\sqrt{2x-x^{2} } -mx\right|\),m là tham số. Tìm m để M đạt giá trị nhỏ nhất.

\(A. \frac{\sqrt{2} }{2} . B. 2\sqrt{2} .\)

\(C. \frac{\sqrt{2} }{4} . D. \sqrt{2} .\)
 

Answer 1

Chọn D

Tập xác định \(D=\left[0;2\right]. \)

Đặt \(h\left(x\right)=4\sqrt{2x-x^{2} } -mx\Rightarrow  h'\left(x\right)=\frac{4\left(1-x\right)}{\sqrt{2x-x^{2} } } -m=\frac{4\left(1-x\right)-m\sqrt{2x-x^{2} } }{\sqrt{2x-x^{2} } } .\)

Do đó \(h'\left(x\right)=0\Rightarrow 4\left(1-x\right)-m\sqrt{2x-x^{2} } =0\Rightarrow 4\left(1-x\right)=m\sqrt{2x-x^{2} }\)

\(\Rightarrow \left(m^{2} +16\right)x^{2} -2\left(m^{2} +16\right)x+16=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=1-\frac{m}{\sqrt{m^{2} +16} } ,m>0} \\ {x=1+\frac{m}{\sqrt{m^{2} +16} } ,m<0} \end{array}\right. .\)

Quan sát các đáp án ta thấy m>0 nên ta xét m>0.

 Suy ra nghiệm của \(h'\left(x\right)=0 là x=1-\frac{m}{\sqrt{m^{2} +16} }\)  với m>0.

Đặt \(x_{0} =1-\frac{m}{\sqrt{m^{2} +16} } \in \left(0;2\right)\) ta có bảng biến thiên

Với \(h\left(x_{0} \right)=\sqrt{m^{2} +16} -m.\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\left[\begin{array}{l} {M=h\left(x_{0} \right)=\sqrt{m^{2} +16} -m} \\ {M=\left|h\left(2\right)\right|=2m} \end{array}\right. .\)

Xét phương trình \(\sqrt{m^{2} +16} -m=2m\Leftrightarrow \sqrt{m^{2} +16} =3m\Leftrightarrow m=\sqrt{2} .\)

+ Nếu \(m=\sqrt{2}  ta có M=h\left(x_{0} \right)=h\left(2\right)=2\sqrt{2} .\)

+ Nếu\( 0<m<\sqrt{2}  thì \sqrt{m^{2} +16} -m>2m\Rightarrow M=\sqrt{m^{2} +16} -m>2\sqrt{2}  với 0<m<\sqrt{2} . \)

+ Nếu \(m>\sqrt{2}  thì \sqrt{m^{2} +16} -m<2m\Rightarrow M=2m>2\sqrt{2}  với m>\sqrt{2} .\)

Vậy M nhỏ nhất bằng \(2\sqrt{2}  khi m=\sqrt{2} .\)