f(x)=x2+(x+2)x−2√+m6−x√+2.Biết hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10, tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x)

Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^{2} +\left(x+2\right)\sqrt{x-2} +m}{\sqrt{6-x} +2} . \)Biết hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10, tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x)

A. 14.

B. 24.

C. 34.

D. 44.

Answer 1

Chọn D 

Điều kiện xác định \(2\le x\le 6.\)

Đặt\( h\left(x\right)=x^{2} +\left(x+2\right)\sqrt{x-2} +m, g\left(x\right)=\sqrt{6-x} +2.\)

Ta có \(\forall x\in \left[2;6\right], ta có g\left(x\right)>0,h\left(x\right)>0,g'\left(x\right)<0,h'\left(x\right)>0.\)

Do đó \(f'\left(x\right)=\left(\frac{h\left(x\right)}{g\left(x\right)} \right)^{{'} } =\frac{h'\left(x\right).g\left(x\right)-h\left(x\right).g'\left(x\right)}{g^{2} \left(x\right)} >0,\forall x\in \left[2;6\right].\)

Suy ra hàm số\( f\left(x\right) đồng biến trên \left(2;6\right).\)

Khi đó \(10={\mathop{\min }\limits_{\left[2\, ;\, 6\right]}} f\left(x\right)=f\left(2\right)=\frac{2^{2} +\left(2+2\right)\sqrt{2-2} +m}{\sqrt{6-2} +2} =\frac{4+m}{4} \Leftrightarrow m=36.\)

Vậy \({\mathop{\max }\limits_{\left[2\, ;\, 6\right]}} f\left(x\right)=f\left(6\right)=\frac{6^{2} +\left(6+2\right)\sqrt{6-2} +36}{\sqrt{6-6} +2} =44.\)