Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f(x)=x2+5x2+4√. ​

Question

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^{2} +5}{\sqrt{x^{2} +4} } .\)

A. m=2.

B. m=1.

\(C. m=\frac{5}{2} .\)

D. Không tồn tại m.
 

Answer 1

Chọn D

Cách 1. 

Ta có \(f\left(x\right)=\frac{x^{2} +5}{\sqrt{x^{2} +4} } =\sqrt{x^{2} +4} +\frac{1}{\sqrt{x^{2} +4} } =\sqrt{x^{2} +4} +\frac{4}{\sqrt{x^{2} +4} } -\frac{3}{\sqrt{x^{2} +4} } \)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(\sqrt{x^{2} +4} +\frac{4}{\sqrt{x^{2} +4} } \ge 2\sqrt{\sqrt{x^{2} +4} .\frac{4}{\sqrt{x^{2} +4} } } =4.\)

Mà \(x^{2} \ge 0,\forall x\in {\rm R}\Rightarrow x^{2} +4\ge 4,\forall x\in {\rm R}\Rightarrow -\frac{3}{\sqrt{x^{2} +4} } \ge -\frac{3}{2} ,\forall x\in {\rm R}.\)

Khi đó \(f\left(x\right)\ge 4-\frac{3}{2} =\frac{5}{2} .\)

Dấu ``='' xảy ra khi và chỉ khi\( \sqrt{x^{2} +4} =\frac{4}{\sqrt{x^{2} +4} } \Leftrightarrow x=0.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất m của\( f\left(x\right) là \frac{5}{2}  khi x=0.\)

Cách 2.

Ta có \(f\left(x\right)=\frac{x^{2} +5}{\sqrt{x^{2} +4} } =\sqrt{x^{2} +4} +\frac{1}{\sqrt{x^{2} +4} } =\frac{1}{4} \sqrt{x^{2} +4} +\frac{1}{\sqrt{x^{2} +4} } +\frac{3}{4} \sqrt{x^{2} +4} \)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(\frac{1}{4} \sqrt{x^{2} +4} +\frac{1}{\sqrt{x^{2} +4} } \ge 2\sqrt{\frac{1}{4} \sqrt{x^{2} +4} .\frac{1}{\sqrt{x^{2} +4} } } =1.\)

Mà \(x^{2} \ge 0,\forall x\in {\rm R}\Rightarrow x^{2} +4\ge 4,\forall x\in {\rm R}\Rightarrow \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} +4} \ge \frac{3}{2} ,\forall x\in {\rm R}.\)

Khi đó \(f\left(x\right)\ge 1+\frac{3}{2} =\frac{5}{2} .\)

Dấu ``='' xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x^{2} +4} =\frac{4}{\sqrt{x^{2} +4} } \Leftrightarrow x=0.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất m của \(f\left(x\right) là \frac{5}{2}  khi x=0.\)