y=f(m)=∫arccotmπ4tan(π4−x2).(1+sinx)sin5xdx,m<1. Max của y=f(m)trên(−∞;1):

Question

Cho hàm số \(y=f(m)=\int _{\frac{\pi }{4} }^{arccotm}\frac{\tan \left(\frac{\pi }{4} -\frac{x}{2} \right).\left(1+\sin x\right)}{\sin ^{5} x}  dx,\, \, m<1 .\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(m) trên \left(-\infty ;\, 1\right)\)bằng

A. \frac{3}{4}  . B. -\frac{3}{4}  . C. 3 . D. \frac{3}{2}  .
 

Answer 1

Chọn A

Đặt \(t=\frac{\pi }{2} -x\) , ta có:
\(y=f(m)=\int _{\arctan m}^{\frac{\pi }{4} }\frac{\tan \frac{t}{2} .\left(1+\cos t\right)}{\cos ^{5} t}  dt=\int _{\arctan m}^{\frac{\pi }{4} }\frac{\sin t}{\cos ^{5} t}  dt=\int _{\arctan m}^{\frac{\pi }{4} }\tan t(1+\tan ^{2} t) d(\tan t)\)
\(=\left. \left(\frac{\tan ^{2} t}{2} +\frac{\tan ^{4} t}{4} \right)\right|_{\arctan m}^{\frac{\pi }{4} } =\frac{3}{4} -\frac{m^{2} }{2} -\frac{m^{4} }{4} \le \frac{3}{4} ,\, \, \forall m\in \left(-\infty ;1\right)\)
Vậy \(Max{\mathop{f(m)}\limits_{\left(-\infty ;1\right)}} =\frac{3}{4} \Leftrightarrow m=0 . \)Chọn  đáp án A.