(S1):(x+4)2+y2+z2=16,(S2):(x+4)2+y2+z2=36​. Đt di động nhưng luôn tiếp xúc với đồng thời cắt tại B,C. Tìm SmaxABC

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left(S_{1}^{} \right):\left(x+4\right)_{}^{2} +y_{}^{2} +z_{}^{2} =16,  \left(S_{2}^{} \right):\left(x+4\right)_{}^{2} +y_{}^{2} +z_{}^{2} =36\) và điểm \(A\left(4;0;0\right)\). Đường thẳng\( \Delta\) di động nhưng luôn tiếp xúc với \(\left(S_{1}^{} \right)\)đồng thời cắt \(\left(S_{2}^{} \right)\) tại hai điểm B,C. Tam giác ABC có thể có diện tích lớn nhất là bao nhiêu ?  

\(A. 28\sqrt{5} . B. 72.\)

\(C. 48. D. 24\sqrt{5} . \)

Answer 1

Chọn D

Ta có\( I_{1}^{} =\left(-4,0,0\right),R_{1}^{} =4 , I_{2}^{} =\left(-4,0,0\right),R_{2}^{} =6 \)

Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left(S_{1}^{} \right) tại H  và cắt \left(S_{2}^{} \right)\) tại B,C. Khi đó, ta có 
\(\[BC=2BH=2\sqrt{IB_{}^{2} -IH_{}^{2} } =2\sqrt{36-16} =4\sqrt{5} .\] \)
\(\[S_{\Delta ABC}^{} =\frac{1}{2} d\left(A,\Delta \right).BC=\frac{1}{2} AD.BC\] \)
\(S_{\Delta ABC}^{}\)  lớn nhất \(\Leftrightarrow\)  AD lớn nhất \(\Leftrightarrow D\equiv H\Leftrightarrow A,I,H\) thẳng hàng 
\(\[\Rightarrow H=\left(-8,0,0\right)\] \)
Do đó AD=AH=AI+IH=8+4=12 

Vậy \(S_{\Delta ABC}^{} =\frac{1}{2} AD.BC=\frac{1}{2} .12.4\sqrt{5} =24\sqrt{5}  .\)