Cho hai điểm A(2;3;−1);B(1;3;−2) và mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y+2z+3=0. Giá trị của b+c+d+e bằng

Question

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left(2;3;-1\right);B\left(1;3;-2\right)\) và mặt cầu \(\left(S\right):x^{2} +y^{2} +z^{2} -2x-4y+2z+3=0\). Xét khối nón (N) có đỉnh là tâm I của mặt cầu và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu (S). Khi (N) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) và đi qua hai điểm A,B có phương trình dạng 2x+by+cz+d=0 và y+mz+e=0. Giá trị của b+c+d+e bằng

A. 15..

B. -12..

C. -14..

D. -13.
 

Answer 1

Chọn D

Mặt cầu \(\left(S\right)\) có tâm \(I\left(1;2;-1\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{3} \)

Xét khối nón \(\left(N\right) \)có đỉnh I, bán kính đáy r và chiều cao h (h là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng chứa đường tròn đáy) có thể tích là
\(V_{N} =\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \pi \left(R^{2} -h^{2} \right)h=\frac{1}{3} \pi \left(3-h^{2} \right)h=\frac{1}{3} \pi \left(3h-h^{3} \right)\)
Khảo sát hàm \(f\left(h\right)=3h-h^{3} \) trên khoảng \(\left(0;\sqrt{3} \right)\) ta được \(V_{N}\)  max khi h=1

Bài toán quy về lập phương trình mặt phẳng\( \left(P\right)\)đi qua 2 điểm A,B và cách điểm I một khoảng h=1

Gọi \(\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)\left(a^{2} +b^{2} +c^{2} \ne 0\right) \)là vectơ pháp tuyến của \(mp\left(P\right)\)

Ta có \(\overrightarrow{BA}=\left(1;0;1\right); \overrightarrow{n}.\overrightarrow{BA}=0\Leftrightarrow a+c=0\Leftrightarrow c=-a\)

\(Mp\left(P\right) \)đi qua A, với vectơ pháp tuyến\( \overrightarrow{n}=\left(a;b;-a\right) \)có phương trình là \(a\left(x-2\right)+b\left(y-3\right)-a\left(z+1\right)=0\Leftrightarrow ax+by-az-3a-3b=0\)
\(d\left(I,\left(P\right)\right)=1\Leftrightarrow \frac{\left|a+b\right|}{\sqrt{2a^{2} +b^{2} } } =1\Leftrightarrow \left(a+b\right)^{2} =2a^{2} +b^{2} \Leftrightarrow a^{2} -2ab=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {a=0} \\ {a=2b} \end{array}\right. \)
+ Với \(a=0\Rightarrow c=0\Rightarrow mp(P):y-3=0\)

+ Với a=2b, chọn \(b=1\Rightarrow a=2;c=-2\Rightarrow mp(P):2x+y-2z-9=0\)

Vậy \(b=1;c=-2;d=-9;e=-3\Rightarrow b+c+d+e=-13.\)