ASO cân tại S, (SAD) vuông góc với(ABCD), góc giữa SD và (ABCD) bằng 60 độ. d(SB;AC) bằng

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB=a, BC=\(a\sqrt{3} \). Tam giác ASO cân tại S, mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SD và (ABCD) bằng 60 độ. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng

\(A. \frac{3a}{4} . B. \frac{3a}{2} .\)

\(C. \frac{a}{2} . D. \frac{a\sqrt{3} }{2} .\)
 

Answer 1

Chọn A

+) Kẻ\( SH\bot AD\Rightarrow SH\bot (ABCD).\)

+) M là trung điểm AO \(\Rightarrow AO\bot MH.\)
\(\[+) AM=\frac{1}{4} AC=\frac{a}{2} ;\widehat{MAH}=30^{\circ } .\] \)
\(\[=>\left\{\begin{array}{l} {AH=\frac{a}{\sqrt{3} } =\frac{1}{3} AD} \\ {MH=\frac{a}{2\sqrt{3} } } \end{array}\right. \Rightarrow HD=\frac{2a}{\sqrt{3} } \Rightarrow SH=2a.\] \)\( \[+) d(SB,AC)=d(A,(SBE))=\frac{3}{4} d(H,(SBE))=\frac{3}{4} HK.\] \)
\(\[+) d(H,BE)=HM+d(D,AC) =HM+3HM=4HM=\frac{2a}{\sqrt{3} } \] \)
\(\[+) \frac{1}{HK^{2} } =\frac{1}{SH^{2} } +\frac{1}{(d(H,BE))^{2} } =\frac{1}{4a^{2} } +\frac{3}{4a^{2} } =\frac{1}{a^{2} } \] \)
\(​ \[\Rightarrow HK=a\Rightarrow d(SB,AC)=\frac{3a}{4} .\]  ​\)