Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết góc giữa SB và mặt đáy bằng 60 độ.

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai điểm M,N lần lượt thuộc đoạn AB,AD sao cho AM=3MB và \(AN=\frac{1}{4} AD.\) Gọi H là giao điểm DM của và CN, hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là điểm H. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết góc giữa SB và mặt đáy bằng 60 độ. 

\(A. V=8\sqrt{123a^{3} } . B. V=\frac{64\sqrt{51} }{5} a^{3} .\)

\(C. V=\frac{64\sqrt{51} }{15} a^{3} . D. V=\frac{8\sqrt{123} }{3} a^{3} . \)
 

Answer 1

Chọn C

Ta có \(HC=\cos \alpha .DC.\)
\(\[\tan \alpha =\frac{ND}{DC} =\frac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha =\frac{4}{5} .\] \)
Xét \(\Delta DHC có góc CHD vuông \Rightarrow HC=\frac{4}{5} .4a=\frac{16}{5} a.\)
\(\[\alpha +\beta =90^{0} \Rightarrow \cos \beta =\sin \alpha =\frac{3}{5} .\] \)
\(\[\begin{array}{l} {\Rightarrow HB^{2} =HC^{2} +BC^{2} -2HC.BC.\cos \beta =\left(\frac{16}{5} a\right)^{2} +\left(4a\right)^{2} -2.\frac{16}{5} a.4a.\frac{3}{5} } \\ {\Rightarrow HB=\frac{4\sqrt{17} }{5} a.} \end{array}\] \)
Xét tam giác vuông SHB có
\(\[SH=\tan 60^{0} .\frac{4\sqrt{17} }{5} a=\frac{4\sqrt{51} }{5} a.\] \)
\(\[V_{S.ABCD} =\frac{1}{3} .\frac{4\sqrt{51} }{5} a.S_{ABCD} =\frac{64a^{3} \sqrt{51} }{15} .\]  \)