Đường thẳng d có phương trình tham số là: \(\left\{\begin{array}{l} {x=-1+2t} \\ {y=t} \\ {z=2+t} \end{array}\right. \left(t\in {\rm R}\right).\)
+ Vì \(M\in d\) nên\( M\left(2t-1\, ;\, t\, ;\, t+2\right)\) với t là tham số.
\(A\left(1\, ;\, -1\, ;\, 2\right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{A} =\frac{x_{M} +x_{N} }{2} } \\ {y_{A} =\frac{y_{M} +y_{N} }{2} } \\ {z_{A} =\frac{z_{M} +z_{N} }{2} } \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{N} =2x_{A} -x_{M} =-2t+3} \\ {y_{N} =2y_{A} -y_{M} =-t-2} \\ {z_{N} =2z_{A} -z_{M} =-t+2} \end{array}\right. .\)
Suy ra: \(N\left(-2t+3\, ;\, -t-2\, ;\, -t+2\right). \)
+ Do \(N\in \left(P\right)\) nên ta có: \(\left(-2t+3\right)+\left(-t-2\right)-2\left(-t+2\right)+5=0\Leftrightarrow t=2.\)
Do đó \(M\left(3\, ;\, 2\, ;\, 4\right), N\left(-1\, ;\, -4\, ;\, 0\right). Suy ra \overrightarrow{MN}=\left(-4\, ;\, -6\, ;\, -4\right).\)
+ Đường thẳng \(\Delta \)có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{MN}=\left(-4\, ;\, -6\, ;\, -4\right) \)và đi qua \(M\left(3\, ;\, 2\, ;\, 4\right) \)nên
phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta là: \frac{x-3}{-4} =\frac{y-2}{-6} =\frac{z-4}{-4} .\)
