(P):x−2y+2z−5=0vàA(−3;0;1),B(1;−1;3). Trong các đt qua A và // (P), viết ptdt mà kc từ B đến đt đó là min.

Question

Cho\( \left(P\right)\, :\, x-2y+2z-5=0 và A\left(-3\, ;\, 0\, ;\, 1\right), B\left(1\, ;\, -1\, ;\, 3\right).\) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Answer 1

Cách 1: Gọi d là đường thẳng cần tìm và (Q) là mặt phẳng qua \(A\left(-3;\, \, 0;\, \, 1\right)\)  và song song với mặt phẳng (P), khi đó phương trình mặt phẳng (Q) có dạng \(1.\left(x+3\right)-2.\left(y-0\right)+2.\left(z-1\right)=0 \Leftrightarrow x-2y+2z+1=0.\) Theo bài thì đường thẳng d cần tìm nằm trên mặt phẳng (Q)

Gọi H là hình chiếu của B trên mặt phẳng (Q) và K là hình chiếu của B trên d,  ta có \(BH=d\left(B,\left(Q\right)\right)\) không đổi  và \(BK=d\left(B,d\right).\)

Do \(BK\ge BH \)nên BK nhỏ nhất khi và chỉ khi \(K\equiv H\) và khi đó đường thẳng d cần tìm đi qua A và H với H là hình chiếu của B trên mặt phẳng (Q)

Đường thẳng BH qua \(B\left(1;\, -1;\, 3\right) \)nhận véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow{n_{\left(Q\right)} }=\left(1;\, -2;\, 2\right)\) làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:
\(BH:\left\{\begin{array}{l} {x=1+t} \\ {y=-1-2t} \\ {z=3+2t} \end{array}\right. . \)
Vì \(H\in BH\Rightarrow H\left(1+t;\, \, -1-2t;\, \, 3+2t\right). \)

Mặt khác\( H\in \left(Q\right) nên 1.\left(1+t\right)-2.\left(-1-2t\right)+2.\left(3+2t\right)+1=0 \Leftrightarrow t=-\frac{10}{9} \Rightarrow H\left(\frac{-1}{9} ;\, \frac{11}{9} ;\, \frac{7}{9} \right).\)

Véc tơ \(\overrightarrow{AH}=\left(\frac{26}{9} ;\, \frac{11}{9} ;\, -\frac{2}{9} \right).\)

Đường thẳng d cần tìm qua \(A\left(-3;\, 0;\, 1\right) \)và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(26;\, 11;\, -2\right)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{x+3}{26} =\frac{y}{11} =\frac{z-1}{-2} .\)

Cách 2: Có thể làm nhanh  như sau:

Đường thẳng d đi qua A và cách B khoảng nhỏ nhất là đường thẳng có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_{d} =\left[\vec{n}_{\left(p\right)} \, ,\, \left[\vec{n}_{\left(p\right)} \, ,\, \overrightarrow{AB}\right]\right] .\)

Vì \(\vec{n}_{\left(P\right)} =\left(1\, ;\, -2\, ;\, 2\right), \overrightarrow{AB}=\left(4\, ;\, -1\, ;\, 2\right) nên \left[\vec{n}_{\left(P\right)} \, ,\, \overrightarrow{AB}\right]=\left(-2\, ;\, 6\, ;\, 7\right).\)

Do đó\( \vec{u}_{d} =\left(-26\, ;\, -11\, ;\, 2\right).\)

Phương trình đường thẳng cần tìm là: \(\frac{x+3}{-26} =\frac{y}{-11} =\frac{z-1}{2}  . \)