Cho A(1;2;3) và d1:x−2/2=y+2/−1=z−3/1,d2:x−1/−1=y−1/2=z+1/1. Tìm A' đx A qua d1. Viết Δ qua A, vg d1,d2

Question

Cho \(A\left(1;2;3\right) và d_{1} :\frac{x-2}{2} =\frac{y+2}{-1} =\frac{z-3}{1} ,d_{2} :\frac{x-1}{-1} =\frac{y-1}{2} =\frac{z+1}{1} . \)Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 .     
 

Answer 1

+ Tìm tọa độ điểm A' đối cứng với A qua d1 .

Mặt phẳng \(\left(\alpha \right) \)đi qua \(A\left(1;2;3\right)\) và vuông góc với d1 có phương trình là :
\(2\left(x-1\right)-\left(y-2\right)+\left(z-3\right)=0\Leftrightarrow 2x-y+z-3=0 \)
Tọa độ giao điểm H của d1 và \(\left(\alpha \right)\) là nghiệm của hệ :
\(\left\{\begin{array}{c} {\frac{x-2}{2} =\frac{y+2}{-1} =\frac{z-3}{1} } \\ {2x-y+z-3=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x=0} \\ {\begin{array}{c} {y=-1} \\ {z=2} \end{array}} \end{array}\Rightarrow H\left(0;-1;2\right)\right.  \)
Vì A' đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của \(AA' \Rightarrow A'\left(-1;-4;1\right).\)

+ Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) 

Vì  \(\Delta\)  đi qua A, vuông góc với \(d_{1}  và cắt d_{2} \), nên \(\Delta\)  đi qua giao điểm B của \(d_{2}  và \left(\alpha \right).\)

Tọa độ giao điểm B của \(d_{2}  và \left(\alpha \right)\) là nghiệm của hệ  :
\(\left\{\begin{array}{c} {\frac{x-1}{-1} =\frac{y-1}{2} =\frac{z+1}{1} } \\ {2x-y+z-3=0} \end{array}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x=2} \\ {y=-1} \\ {z=-2} \end{array}\Rightarrow B\left(2;-1;-2\right)\right. \right.  \)
Vecto chỉ phương của \(\Delta  là : \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(1;-3;-5\right).\)

Phương trình của \(\Delta  là : \frac{x-1}{1} =\frac{y-2}{-3} =\frac{z-3}{-5} .    \)